List of my Publications

Wednesday, 11 May 2011

Domanda di teoria - Momento di Inerzia e Huygens-Steiner

Discutere il momento d'inerzia rispetto ad un asse. Discutere il teorema di Huygens-Steiner.


Abbiamo studiato un’importantissima equazione per i sistemi di particelle, la seconda equazione cardinale, che abbiamo dimostrato per un polo O fisso e per un polo coincidente col centro di massa, che descrive l’evoluzione del momento angolare dei sistemi in base al momento di tutte le forze esterne applicate al sistema. Essa è:


Invece di un sistema di punti staccati tra di loro e che quindi si  possono muovere relativamente l’uno rispetto all’altro, prendiamo un corpo rigido. Esso è un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili  coppie di punti non possono variare.
Supponiamo che il corpo rigido sia in rotazione attorno ad un asse fisso. Tutti i punti del corpo descriveranno un moto circolare con velocità angolare ω. Anche per un corpo rigido, che è un sistema di punti, l’equazione della dinamica della rotazione è quella data sopra se prendiamo come polo un punto dell’asse di rotazione, che è fisso. Il fatto che le posizioni relative delle particelle non cambino ha notevoli conseguenze. Si può definire una nuova grandezza che è il momento d’inerzia I.
Prima di discuterlo facciamo alcune considerazioni dimensionali. Vediamo come sono le dimensioni di tau, momento delle forze.

[tau] = [dL/dt]

[lunghezza x forza]=[momento angolare / tempo]=[massa x lunghezza x velocità / tempo]
=[mazza x lunghezza x accelerazione] = [lunghezza x forza ] 

Il momento d’inerzia ha le dimensioni di massa moltiplicata per lunghezza al quadrato.
In specifiche condizioni, quando il momento angolare è parallelo al vettore velocità angolare, la seconda equazione cardinale si può scrivere come:


dove α come vettore rappresenta l’accelerazione angolare.  z indica l’asse di rotazione fisso.
Il vettore velocità angolare ω può solo cambiare in modulo e verso  ma non in direzione. Se l’accelerazione angolare è costante ω=ωo+αt. Con ωo  si è indicata la velocità angolare iniziale.
L’equazione dice che il momento delle forze esterne agenti sul corpo, valutato con polo sull’asse di rotazione è pari al “momento d’inerzia” del corpo valutato rispetto allo stesso asse che moltiplica l’accelerazione angolare. Questa equazione vale se il momento angolare (vettore L) è parallelo al vettore velocità angolare ωL’equazione è detta “equazione del moto di rotazione”.

Il momento d’inerzia è definito come un’integrazione su tutto il volume del corpo nella seguente maniera. Prendiamo un corpo di forma generica e un asse z nello spazio.


 Suddividiamo il corpo in tante piccole masse i, ciascuna avrà la sua distanza dall’asse. Si definisce I rispetto all’asse z come:


Se la suddivisione è fine, invece della somma consideriamo un integrale.
Questa definizione è del tutto generale. Quindi la distribuzione della massa attorno all’asse non deve avere necessariamente delle simmetrie per definire il momenti d’inerzia. Il calcolo dei momenti d’inerzia è comunque agevole se ci sono delle simmetrie. Inoltre, se l’asse di rotazione è un asse di  simmetria, il momento angolare è parallelo al vettore velocità angolare e l’equazione della rotazione è applicabile.

Per quanto riguarda i momenti d'inerzia, ricordiamo che esiste un teorema che è utile per valutarli. Questo è il teorema di Huyghens-Steiner. Il momento d'inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a una distanza d dal centro di massa del corpo è dato da: I = I_c + md^2, dove I_c è il momento d'inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.