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Friday, 20 May 2011

n.10 - disco e asta

Un perno P passante per il centro del disco (vedi la figura) permette al disco di ruotare liberamente nel piano della figura che è un piano verticale. Il disco ha raggio b e la sua massa  è m1 . Una sbarra omogenea e di lunghezza L è saldata al bordo del disco. La sbarra ha la direzione della lunghezza perpendicolare al bordo del disco e si distende solo nel piano del disco. La sua massa è m2.
Trovare il momento d’inerzia del sistema (disco e sbarra) rispetto all’asse del perno, ossia l’asse perpendicolare al disegno e passante per il centro del disco.




Se il sistema ruota, che direzione ha il momento angolare?
Calcolate l’accelerazione angolare del sistema, quando viene rilasciato dalla posizione mostra in figura.

Calcoliamo il momento d’inerzia ricordando che esso è una quantità additiva. Dato che conosciamo il momento d’inerzia del disco: ½ m1b2, a questo basta aggiungere il momento d’inerzia dell’asta che calcoliamo nel seguente modo. Prendiamo un asse x perpendicolare al perno e diretto lungo l’asta. Supponiamo una piccola massa lunga dx, dm=ρdx, dove ρ è la densità dell’asta pari a m2/L. Quindi


Discutiamo ora il momento angolare con ω avente la direzione dell’asse del perno, poiché l’asse del perno è quello di rotazione, come ci dice il problema. Facciamo sempre riferimento alla figura usata per calcolare il momento di'inerzia. L'asse di rotazione è l'asse P e usiamo per il calcolo il polo O (il centro del disco) in figura.





Si applica quindi la relazione Iα=τ al sistema.  Il sistema ruota attorno al punto fisso P. Le forze esterne sono l’azione del  sostegno del perno e il peso del disco e dell’asta. Poiché il peso del disco è applicato nel centro del disco , se prendiamo questo centro come polo per il calcolo dei momenti, il peso del disco non ha momento, come l’azione del supporto del perno. L’unica forza che ha momento è il peso dell’asta.

Il momento meccanico è dovuto solo  al peso della sbarra,  m2g, applicata al CMsbarra