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Wednesday, 15 June 2011

Domanda di teoria - Clausius

Discutere il teorema di Clausius

Abbiamo visto, studiando il ciclo di Carnot, che il suo rendimento dalla temperatura delle sorgenti con cui scambia calore. Il terorema di Clausius è una generalizzazione del  teorema di Carnot.

Teorema di Carnot

I) Il rendimento di una macchina termica che compie un ciclo di qualsiasi genere tra due termostati non può essere migliore di quello della macchina di Carnot che lavora tra quelle stesse temperature. Il rendimento del motore qualsiasi è inferiore o uguale al rendimento del motore di Carnot.

II) Tutte le macchine termiche che lavorano reversibilmente tra due termostati hanno  lo stesso rendimento della macchina di Carnot.

Per dimostrarlo prendiamo una macchina termica MT che affianco con due macchine di Carnot, disponendole  come in figura
Q1,Q10,Q2,Q20 sono i valori assoluti del calore scambiato. Per le macchine di Carnot, si ha che il rapporto tra i calori scambiati con le sorgenti  è pari al rapporto delle temperature:

Inoltre, il sistema MT+C1+C2 scambia calore solo con To;  per non violare Kelvin la somma dei lavori fatti è minore o uguale a zero:

L= (Q1 - Q2) + (Q10 - Q1) + (Q2 - Q20) = Q10 - Q20  (minore o uguale a zero). Quindi, usando le relazioni viste prima:

Ora dobbiamo considerare la seconda parte della dimostrazione:
Dato che la macchina termica MT può scambiare calore con più di due sorgenti, al posto dello schema precedente ho uno schema con più sorgenti:
La dimostrazione del terorema di Clausius è analoga a quella di Carnot, usando n cicli di Carnot invece che solo due. Si ha quindi che è possibile enunciare il seguente risultato.

Consideriamo una macchina termica che preleva calore da un certo numero di termostati e ne cede as un altro numero. Sia Delta Qi il lavoro (con segno) che la macchina assorbe o cede dall' i-esimo termostato.