L'orso affamato

A hungry 700-N bear walks out on a beam in an attempt to retrieve some “goodies” hanging at the end. The beam is uniform, weighs 200 N, and is 6.00 m long; the goodies weigh 80.0 N. (a) Draw a free-body diagram of the beam. (b) When the bear is at x = 1.00 m, find the tension in the wire and the components of the reaction force at the hinge. (c) If the wire can withstand a maximum tension of 900 N, what is the maximum distance the bear can walk before the wire breaks? 

Facciamo il diagramma delle forze.  Sulla trave agiscono la gravita P, verticale verso il basso, l'azione dell'orso P_o dovuta al suo peso, verticale verso il basso, l'azione del cestino, P_c, che è verticale verso il basso, la tensione della fune T che ha componente verticale verso l'alto di modulo T sen60°, e orizzontale di modulo T cos60°, verso la parete. Allora c'è anche l'azione della parete, A, che ha due componenti, verticale A_v e orizzontale A_h. Quella orizzontale è pari alla componente orizzontale della tensione T, cambiata di segno. Mettiamo giù le equazioni di forze e momenti in equilibro

Il polo lo metto dove la trave si inserisce nella parete.

P+P_o + P_c = A_v + T sin60° (forze verticali)

x P_o + LP/2+ L P_c = L T sin60° (momenti)

A_h = T cos60°  (forze orizzontali)

Allora:  −(LP+L P_o +L P_c )= −(L A_v + L T sin60°)

x Po + LP/2 + L Pc = L T sin60°

sommo le due equazioni: P_o (L−x) +PL/2= L A_v  da cui ho A_v:

A_v  = P_o (L−x)/L +P/2

Poi: P_o +P+ P_c = P_o (L−x)/L +P/2 + T sin60°, da cui T:

T= (P_o +P+ P_c − P_o (L−x)/L −P/2 )/sin60°.