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Tuesday, 2 April 2013

Domanda di teoria - Moto intrinseco traiettoria

Discutere il moto in componenti intrinseche alla traiettoria.

Nello spazio, la posizione di un punto in funzione del tempo la possiamo descrivere tramite il vettore posizione r(t). Consideriamo le posizioni P e P' del punto nei due istanti t e t’. Lo spostamento del punto da P a P' lo diamo tramite la differenza dei vettori posizione e quindi tramite un vettore spostamento D r=r(t‘)- r(t).

La velocità media sarà definita come il rapporto tra il vettore spostamento D r ed il tempo impiegato per compiere questo spostamento D t=t‘- t:


Notiamo che essendo, per definizione, il rapporto di un vettore per un scalare, la velocità è una grandezza vettoriale. Se l'intervallo D t=t‘- t diventa molto piccolo si ottiene la velocità istantanea:



dove compare l'espressione della derivata. Osserviamo che nel passaggio di limite che comporta Dt tendente a zero non facciamo altro che far tendere il punto P' al punto P: quindi il vettore dr diventa il vettore tangente alla curva che si può scrivere come:



Ogni vettore si può infatti scrivere come uno scalre moltiplicato per un versore.
Il vettore unitario (versore) è tangente alla traiettoria: questo vettore è funzione del tempo poiché segue la traiettoria che può cambiare da punto a punto. La velocità istantanea sarà allora:


con v che è la derivata di uno scalre. E' quindi la "velocita’ scalare lungo" la curva. Per la precisione, se indichiamo con s la coordinata curvilinea sulla traiettora, con origine o, e legge oraria s(t), la velocità scalare è ds/dt.



Il vettore unitario di Dr ne caratterizza la direzione ed il verso della velocità.
Per calcolare la velocità istantanea dobbiamo operare il  limite della velocità media:


Cosa succede all'accelerazione? Essa è data da:


Calcoliamo la derivata nel seguente modo:


Se derivando il vettore unitario in questa espressione si arriva, dopo opportuni calcoli, alla seguente formula:


dove at e ac sono dette la componente tangenziale e centripeta (o anche normale) dell'accelerazione. La prima componente ha la direzione del vettore tangente alla traiettoria ed è legata alla variazione della velocità scalare. La seconda componente ha la direzione normale alla traiettoria stessa ed è legata alla variazione della direzione della velocità. Con R si indica il raggio di curvatura della traiettoria ed è il raggio della circonferenza che meglio approssima la curva nel punto considerato.


Osserviamo come possa esistere una accelerazione anche nel caso in cui la velocità scalre non cambi: basta che esista una variazione della direzione della velocità ed è presente la componente della accelerazione centripeta. Per la precisione, il calcolo dell'accelerazione procede nel seguente modo.


E quindi si ha:

L’accelerazione vettoriale, descritta in coordinate intrinseche è la somma  di due vettori componenti: uno  ha la direzione della tangente la traiettoria,  l’altro ha la direzione verso il centro del cerchio osculatore di raggio R, la cui circonferenza  è tangente alla traiettoria. Sono dette accelerazione tangenziale e centripeta.
Il cerchio osculatore è il cerchio tangente alla curva che approssima la curva  intorno al tempo t  fino al secondo ordine: ha cioè le stesse derivate prima e  seconda di  s(t) nel punto. In questo modo posso pensare di sostituire localmente  la curva con la circonferenza percorsa con la stessa velocità e la stessa accelerazione di  quelle  che hanno sulla traiettoria vera.