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Wednesday, 17 April 2013

Domanda di teoria - problema a due corpi

Discutere il moto relativo di due corpi che interagiscono gravitazionalmente e determinare la loro traiettoria relativa.

Consideriamo due masse a distanza r che interagiscono con la legge della gravitazione universale

Prediamo un'origine O per definire le posizioni dei due corpi. Prendiamo anche il vettore posizione relativo r, come il vettore che va dalla posizione della massa 2 alla posizione della 1 (vedi figura). Consideriamo anche il versore ur di questo vettore r. Scriviamo le equazioni di Newton dei due corpi:  troviamo quello che viene definito come il
Iniziamo a somma le due equazioni: otteniamo un equazione che dice che esiste un punto, il centro di massa, che ha velocità costante: 
 
Le due masse si muovono attorno al centro di massa che si muove nello spazio a velocità costante in modulo, direzione e verso. Se immaginiamo che le due masse siano il sole e un suo pianeta, questo vuol dire che il sistema sole/pianeta si muove nel cosmo. Se non ci fossero forze esterne, ma solo l'interazione sole/pianeta, questa velocità sarebbe costante.
Vediamo ora come è il moto relativo sottraendo le equazioni:

 
 
 
Abbiamo così trovato che il moto è descritto da una conica, in accordo con la prima legge di Keplero che dice che l'orbita dei  pianeti è un'ellisse con il sole come fuoco.