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Thursday, 11 April 2013

Domanda di teoria - teorema del momento angolare per una particella

Discutere il teorema del momento angolare per una particella

Il momento angolare è una grandezza fisica importante perché è legata alla simmetria per rotazione nello spazio. La grandezza momento angolare puo’ diventare una costante del moto, ossia diventare una grandezza che resta costante anche se posizione e velocità della particella cambiano.
Il momento angolare di una particella resta costante se non interviene il momento di una forza a variarlo.

Il momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) è definito come:


dove m è la massa, v la velocita‘, r il raggio vettore (o vettore posizione) rispetto al polo O. p è la quantità di moto. Nel SI, si misura in newton metro secondo (N·m·s or kg·m2s-- 1).
Il polo è fondamentale nel calcolo del momento angolare. Se cambiamo la posizione del polo il valore di L cambia. La dipendenza dal polo nasce dal vettore posizione (raggio vettore) che è ovviamente diverso se cambiamo origine.

La relazione tra L’ con polo in O’ e L con polo in O è la seguente:


con o vettore da O a O'.
Il momento della forza (in Inglese, torque) è definito come:


Anche il momento della forza dipende dal polo scelto. Nei testi in italiano si preferisce usare M vettore per indicare il momento della forza. Nella letteratura anglosassone si preferisce tau vettore.
Il modulo del momento della forza è il modulo della forza moltiplicato per il braccio (la distanza perpendicolare della direzione della forza dal polo O). L’unita’ di misura SI è newton metro.(N m).
Se il polo di riferimento cambia, anche il torque cambia:


Valutiamo la derivata rispetto al tempo di L:


Questo è il teorema del momento angolare per una particella. La derivata rispetto al tempo del momento angolare è il momento della forza, se il polo rispetto a cui sono calcolati è fisso in un riferimento inerziale. Abbiamo infatti usato la definizione della velocità come la variazione nel tempo del vettor posizione, v=dr/dt (polo fisso), e la II di newton ma=F (riferimento inerziale).

Il momento della forza è zero se la forza è nulla oppure essa è parallela al raggio vettore:


Il momento angolare è allora costante in modulo direzione e verso.
Facciamo un esempio di conservazione del momento angolare. Prendiamo una massa attaccata ad una corda ruota su un piano orizzontale privo di attrito. La corda passa attraverso un buco nel piano. La massa ruota sulla circonferenza di raggio r1 alla velocità angolare w 1. Tirando la fune e riducendo così il raggio, la velocita’ angolare aumenta. Il raggio diventa r2 e la velocita’ angolare w 2.


La forza che tiene la palla sull'orbita è la tensione della fune ed è pari alla forza centripeta

poiché v=w r. La forza è a momento nullo (forza centripeta è parallela al raggio). Si conserva quindi il momento angolare:

da cui:

Accorciando il filo, aumenta la velocità della particella.
Questo è anche quello che capita alla velocita’ dei pianeti durante la loro rivoluzione attorno al sole. La forza gravitazionale è una forza centrale e si comporta come la forza centripeta dell’esempio. Al perielio, il pianeta si muove più velocemente che all’afelio, ma il momento angolare resta costante.