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Thursday, 11 April 2013

Domanda di teoria - Velocità areale

Discutere la relazione tra momento angolare e velocità areale.

Per la discussione utilizziamo il momento angolare descritto con le componenti polari della velocità. Possiamo infatti scomporre il vettore velocità in due componenti, come in figura seguente:


La componente della velocità diretta come direzioni ur è detta “radiale”, quella diretta come uθ è detta “trasversa” . Per quanto riguarda i moduli delle due componenti si ha che vr=dr/dt, che indica la variazione della distanza radiale nel tempo, e vθ= r dθ/dt che indica una rivoluzione sulla circonferenza di raggio r a una velocità angolare data da dθ/dt.
Quindi:

Calcoliamo ora il momento angolare rispetto al  polo del riferimento polare. Si ha che:


Il vettore momento della quantità di moto è perpendicolare al piano che contiene il raggio vettore e il vettore velocità. La direzione di questo vettore è data da quella del vettore unitari uz. Notiamo che, utilizzando le componenti polari della velocità, nell’espressione finale compare solo la componente trasversale della velocità, che contiene una velocità angolare.
Immaginiamo ora di considerare l’area spazzata dal raggio vettore durante il moto lungo del punto lungo la traiettoria. Consideriamo il caso in cui la traiettoria giaccia sempre su di un piano. La curva crea una regione con una certa area nel piano della figura, regione compresa tra la curva, l’asse del riferimento polare e il raggio vettore OP.

Se la particella si muove, in un certo tempo dt il punto si muove da P a P’. L’area cresce di una quantità dArea, come in figura. Se dt è piccolo, l’arco si confonde con la corda ed è circa uguale all’altezza del triangolo OPP’. L’area di questo triangolo è:

dArea= ½ r2

Dividiamo per il tempo ed abbiamo la velocità areolare: dArea/dt= = ½ r2dθ/dt.
Consideriamo ora un caso molto interessante. Supponiamo che la particella si muova soggetta a una forza centrale con centro nel polo O. Se calcoliamo il momento angolare rispetto allo stesso polo, sappiamo che esso deve essere costante in quanto il momento della forza centrale è nullo. Questo significa che la particella in moto dovrà muoversi mantenendo L costante. Come conseguenza il piano dell’orbita (che contiene raggio vettore e velocità) deve rimaner costante.
Il modulo è inoltre legato alla velocità areale. Si ha:


In un campo centrale, la velocità areolare è costante poiché lo è il momento angolare.
Il campo gravitazionale è un campo centrale. Vale la seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. La conseguenza di questa legge è che la velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, il pianeta è più veloce. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.