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Wednesday, 1 May 2013

Domanda di teoria - Moto del centro di massa

Discutere l’equazione del moto del centro di massa, detta anche prima equazione cardinale dei sistemi.

Consideriamo un sistema fatto di N particelle ciascuna di massa mi che occupa ad un certo istante la posizione ri in un dato riferimento inerziale.

Il centro di massa del sistema di particelle è definito come quel punto geometrico che ha come vettore posizione nel riferimento scelto: 

 Il centro di massa non coincide necessariamente con alcuna della masse. Su ciascuna delle particelle agiscono delle forze: per esempio per la particella 1 vale la seconda legge della dinamica: 


 dove fj1 sono le forze esercitate dalle altre particelle j sulla particella 1. Chiamiamo le mutue azioni delle particelle  forze interne. Ed indichiamo con Fi le forze esterne (per esempio l’attrazione gravitazionale di un’altra massa non inclusa nel sistema). Scriviamo le equazioni: 

                Siccome vale il principio di azione e reazione, le forze interne si annullano a vicenda e quindi: 
 
 Se consideriamo il centro si massa, la sua accelerazione è definita come: 
                                  
L'ultima equazione rappresenta il teorema del moto del centro di massa ed è detta  prima equazione cardinale della dinamica.
In assenza di forze esterne (sistema isolato) o quanto la risulatnte delle forze è nulla, l'accelerazione del centro di massa è nulla. Di conseguenza, se l'accelerazione è nulla,  la velocità del centro di massa rimane costante:

La quantità di moto totale del sistema è quindi una costante del moto, restando costante al passare del tempo, se la risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema è nulla. In particolare se la velocità del centro di massa è nulla, la posizione del centro di massa rimane immutata. La posizione del centro di massa non può essere cambiata dall’azione delle forze interne.