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Monday, 13 May 2013

Domanda di teoria - Moto puro rotolamento

Discutere il moto di rotolamento puro di un disco su una superficie orizzontale.

Di questo moto noi sappiamo che non c'è spostamento relativo tra il bordo del disco e la superficie su cui si muove. Prendiamola pure piana ma il discorso è generale. Pesniamo di sovrapporre un moto di pura traslazione della ruota a  una pura rotazione attorno al centro, in modo tale che il punto di contatto C sia istantaneamente fermo.


Nel rotolamento puro il punto  di contatto con la superficie orizzontale è istantaneamente fisso. Il disco ruota istantaneamente attorno a C con una velocità angolare omega; infatti, in questo modo il centro del disco ha velocità v_cm= omega x r. Il punto P che però si trova alla distanza 2R da C ha  una velocità che è il doppio di quella del centro del disco.
Se ci poniamo in un riferimento che si muove con la velocità del centro di massa, vediamo il centro di massa fermo e il disco che ruota attrono a esso con la velocità angolare omega. Il punto P lo si vede muoversi con velocità pari a omega x r, mentre il punto C ruota con velocità uguale ma opposta.

Prendiamo ora un disco che si muove su una superficie orizzontale. Il disco ruota attorno a un asse passante per il centro. A questo asse è applicata la forza orizzontale T. Essa può essere dovuta per esempio alla tensione di una fune passante su una carrucola a cui è appesa una massa m.
Abbiamo quindi l'accelerazione del centro di massa. Per determinarla discutiamo  le forze e i momenti.


Il risultato finale è uguale a quello ottenuto prima. nella figura si è posto l'attrito opposto a T.
Siccome T tende a spostare verso destra tutto il disco, l'attrito deve andar verso sinistra, altrimenti C non potrebbe star fermo. Se tiriamo troppo il corpo, la forza d'attrito tale da bilanciare in C l'effetto di T potrebbe dover essere maggiore del valore massimo possibile dell'attrito statico. Il corpo, oltre a rotolare, striscerebbe anche.
Utilizzando la discussione fatta sopra possiamo risolvere l'esempio del libro di testo del corpo che rotola senza strisciare su un piano inclinato. Al posto di T mettiamo la componente lungo il piano inclinato del peso.


Il libro difinisce il "raggio giratore".
Il momento d’inerzia del cilindro rispetto al suo asse è uguale a quello del disco I = 1/2 M R^2,
Per la sfera si ha: I = 2/5 M R^2 Per un anello I = M R^2 . In tutte queste formule del momento d’inerzia
si ha che esso è I = f M d^2, dove M è la massa, d una distanza significativa, come per esempio il raggio,
e f è un fattore numerico legato alla forma dell’oggetto. Possiamo scrivere il momento d’inerzia come:
I = M k^2, con k^2= f d^2  (^2 signifca al quadrato). k è il raggio giratore del corpo.