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Wednesday, 1 May 2013

Domanda di teoria - urti

Discutere gli urti

Il problema che adesso analizziamo riguarda un sistema di particelle costituito da due soli corpi che interagiscono per un intervallo di tempo molto breve. In questo caso non siamo in grado di descrivere che cosa succede durante l’interazione, ma sappiamo valutare la variazione di quantità di moto delle particelle e quindi l’impulso a cui esse sono state soggette. Diciamo quindi che le particelle sono soggette a forze impulsive, e che l'interazione è avvenuta nell’evento detto “urto”.
Prendiamo due masse molto piccole che si muovano su un piano orizzontate senza attrito e che a un certo istante si urtano. Le due masse 1 e 2, che prima hanno velocità v1 e v2 (vettori), dopo l’urto hanno velocità v’1 e v’2 (vettori). La particella 1 agisce con una forza impulsiva sulla 2 e viceversa, la 2 agisce sulla 1. Infatti vediamo che le velocità cambiano e quindi anche le quantità di moto delle singole masse. Ricordiamo che la quantità di moto è un vettore massa per velocità.


Analizziamo ora le forze esterne al sistema. Non c’è attrito tra piano e particelle e quindi non ci sono forze parallele al piano. Le forze verticali esterne al sistema sono il peso e la reazione normale al piano che hanno risultante nulla. Applicando la legge della dinamica dei sistemi: sappiano che la quantità di moto totale del sistema delle due particelle è costante, poiché la risultante delle forze esterne è nulla. Quindi:


Sappiamo inoltre che la quantità di moto totale  è uguale alla massa totale (somma delle due masse) per la velocità del centro di massa. Negli urti, si suppone che non ci siano azioni esterne al sistema tali da far cambiare la velocità del centro di massa.
Verifichiamo quanto abbiamo concluso prima tramite il teorema dei sistemi di particelle, discutendo l’impulso tra le particelle e ricavando la conservazione la quantità di moto totale.


Possiamo quindi concludere che quando due particelle si urtano si ha la conservazione della quantità di moto totale.
Per quanto riguarda l’energia, si assume che essa sia solo cinetica. L’energia totale di questo sistema di due particelle è quindi solo la somma del’energia cinetica delle due particelle. Si dice che un urto è elastico se l’energia cinetica totale prima dell’urto è uguale a quella dopo l’urto. Si dice che è anelastico se non è elastico e quindi si ha dissipazione di energia, sotto forma di calore e creazione di energie di legame.  Si dice inoltre che un urto è completamente anelastico se le due masse dopo l’urto si muovono con la stessa velocità. Che cosa si intende per “completamente”, lo vediamo tra breve con una discussione apposita. Possiamo dire che l’urto completamente anelastico è quello che in cui si ha la massima dissipazione di energia, compatibilmente con la conservazione della quantità di moto.

Un esempio notevole di urto è il gioco del biliardo. Abbiamo delle sfere rigide che interagiscono tra di loro con forze che possiamo supporre normali alle loro superfici, se vengono trascurate le forze d’attrito. In genere si ha una palla ferma che è il “bersaglio” e una palla che viene lanciata con la stecca. In genere si ha una certa distanza tra i centri delle sfere, e questa distanza è detta parametro d’urto, b.


Se b=0, l’urto si dice “centrale”, poiché avviene centro contro centro. Allora  le forze che si sviluppano durante l'urto sono solo normali alla superficie delle sfere. Queste forze hanno quindi la stessa direzione della velocità della particella in moto. Esiste quindi una direzione privilegiata x nel piano, quella della velocità della particella in moto prima dell’urto, che deve essere anche la direzione delle velocità delle due particelle dopo l’urto, dato che non ci sono forze in altre direzioni. L’urto si svolge così lungo una sola dimensione.

D’ora in poi discutiamo urti unidimensionali. Possiamo allora non usare più il segno di vettore ma assumere le velocità delle particelle che si urtano come delle quantità algebrice, che sono positive se concordi con l'asse x (direzione unidimensionale), oppure negative se sono discordi.

Ricordiamo ancora una volta che per qualsiasi urto vale 


Per  un urto completamente anelastico:


Se si ha la situazione in figura, la v di 1 è positiva, la v di 2 è negativa.

Vediamo ora che cosa succede nell’urto elastico:


 Abbiamo scritto due equazioni. Se conosciamo le masse e le velocità prima dell’urto, queste due equazioni sono un sistema con due incognite,  che sono le velocità dopo l’urto. Risolvendo il sistema si ha:


Prima di discutere la questione  del “completamente anelastico”, consideriamo il caso di due masse uguali, una ferma e una in moto. Il centro di massa  è in moto e a metà tra le due particelle. Se facciamo uno schema, possiamo figurarci il moto del centro di massa (la crocetta in figura).


Nel riferimento del laboratorio, che è considerato come inerziale fisso, è il c.m. che si muove.
Si introduce un altro riferimento: quello del centro di massa. E’ un riferimento che si muove rispetto al riferimento fisso con una velocità uguale a quella del centro di massa e senza ruotare.
In questo riferimento il centro di massa è fermo e vede le due particelle venirgli contro da parti opposte.



Dopo l’urto, le due particelle rimbalzano e la loro velocità è opposta. Dal punto di vista energetico, c'è energia cinetica prima e dopo l'urto. 
 Che cosa capita se l’urto è completamente anelastico? Nel riferimento del laboratorio vediamo che le due masse, dopo l'urto, viaggiano assieme.
Nel riferimento del centro di massa, i blocchi uniti restano fermi!


Consideriamo ora l’energia.

Dopo l’urto, l’energia cinetica nel sistema del centro di massa è sparita completamente.