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Friday, 8 April 2011

Impedenza meccanica

L'oscillatore armonico semplice è determinato dall'equazione del moto: m a(t) + k x(t) = 0, che descrive il moto prodotto da una forza di richiamo elastica proporzionale allo spostamento della massa m dall'origine delle coordinate. a(t) indica l'accelerazione istantanea. La legge di questo moto è:

x(t)=A cos (ωot + φ)

dove ωo = √(k/m)  è la frequenza propria dell'oscillazione libera, mentre A e φ sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto. Siamo ora  interessati all'oscillatore forzato, che è un oscillatore armonico al quale si applica, oltre alla forza elastica, anche una forza esterna, armonica anch'essa, di frequenza arbitraria. L'equazione del moto diviene

m a(t) + k x(t) = F(t)

dove  F(t)=Fo cos(ωt), è appunto la forza esterna.
Una grandezza fisica interessante è l’impedenza meccanica dell'oscillatore. L'impedenza meccanica del sistema è il rapporto tra la forza applicata alla particella  e la velocità della particella stessa. Nel sistema mks si misura in ohm meccanici (kg/s). L'impedenza meccanica dell'oscillatore è il rapporto tra la forza F(t) esercitata sulla massa oscillante, e la velocità v(t) della massa stessa. Per calcolarla assumiamo che il moto risultante sia ancora un moto armonico, e sostituiamo nell'equazione del moto la soluzione di prova:

x(t)=A cos (ωt)

Otteniamo l'equazione

(-m ω2+k) A cos (ωt) = Fo cos(ωt),

da cui otteniamo l'ampiezza del moto risultante in funzione dell'ampiezza Fo della forza applicata, e della pulsazione:
Ora si ricava la velocità:

v(t)= − ωA(ω) sin (ωt)

La forza e velocità non sono in fase tra loro. La forza è una funzione cos, la velocità è invece una funzione sin, il che significa c’è tra di loro uno sfasamento di ±90° . Da  questo esempio è chiaro che ci sono due effetti: una variazione dell’ampiezza in funzione della pulsazione ed  uno sfasamento tra forza applicata e velocità della massa. Determinato lo sfasamento, possiamo determinare l'impedenza meccanica Z considerando il rapporto tra i valori massimi in modulo di forza F e velocità v:


A pulsazioni basse, l'impedenza dell'oscillatore è dominata dalla sua rigidità k, mentre l'inerzia m è poco rilevante, mentre alle alte frequenze la massa dell'oscillatore diventa la caratteristica dominante sul moto, mentre la rigidità influisce poco. La regione attorno ad ω0 dove le due proprietà divengono egualmente importanti è la regione in cui si ha una risonanza. La risonanza corrisponde ad un minimo dell'impedenza, e cioè al punto in cui l'oscillatore oppone la minima resistenza alla forza esterna che lo mantiene in moto.
Studiando l'ampiezza dell'oscillazione come funzione della pulsazione della forza esterna appaiono immediate alcune considerazioni.



a) Data l'intensità della forza esterna, l'ampiezza delle oscillazioni è tanto maggiore quanto più la pulsazione della forza esterna ω è vicina alla pulsazione propria ω0 dell'oscillatore.
b) Pulsazioni molto maggiori o molto minori di ω0 tendono a ridurre l'ampiezza delle oscillazioni.
c) Per pulsazioni prossime ad ω0 avviene un fenomeno legato all’energia. L'energia della sorgente esterna si trasferisce in modo sempre più efficiente all'oscillatore, accumulandosi di periodo in periodo provocando oscillazioni sempre maggiori.
d) A ω = ω0 le oscillazioni diventano di ampiezza infinita. Nella realtà ciò non accade perché ci sono fenomeni di smorzamento.