Problema Momento Angolare

L'esercizio serve per far pratica col calcolo vettoriale e vedere un'applicazione della seconda equazione cardinale dei sistemi.

n.10 - disco e asta

Un perno P passante per il centro del disco (vedi la figura) permette al disco di ruotare liberamente nel piano della figura che è un piano verticale. Il disco ha raggio b e la sua massa  è m₁ . Una sbarra omogenea e di lunghezza L è saldata al bordo del disco. La sbarra ha la direzione della lunghezza perpendicolare al bordo del disco e si distende solo nel piano del disco. La sua massa è m₂.

Trovare il momento d’inerzia del sistema (disco e sbarra) rispetto all’asse del perno, ossia l’asse perpendicolare al disegno e passante per il centro del disco.

Se il sistema ruota, che direzione ha il momento angolare?

Calcolate l’accelerazione angolare del sistema, quando viene rilasciato dalla posizione mostra in figura.

Calcoliamo il momento d’inerzia ricordando che esso è una quantità additiva. Dato che conosciamo il momento d’inerzia del disco: ½ m₁b², a questo basta aggiungere il momento d’inerzia dell’asta che calcoliamo nel seguente modo. Prendiamo un asse x perpendicolare al perno e diretto lungo l’asta. Supponiamo una piccola massa lunga dx, dm=ρdx, dove ρ è la densità dell’asta pari a m₂/L. Quindi

Discutiamo ora il momento angolare con ω avente la direzione dell’asse del perno, poiché l’asse del perno è quello di rotazione, come ci dice il problema. Facciamo sempre riferimento alla figura usata per calcolare il momento di'inerzia. L'asse di rotazione è l'asse P e usiamo per il calcolo il polo O (il centro del disco) in figura.

Si applica quindi la relazione Iα=τ al sistema.  Il sistema ruota attorno al punto fisso P. Le forze esterne sono l’azione del  sostegno del perno e il peso del disco e dell’asta. Poiché il peso del disco è applicato nel centro del disco , se prendiamo questo centro come polo per il calcolo dei momenti, il peso del disco non ha momento, come l’azione del supporto del perno. L’unica forza che ha momento è il peso dell’asta.

Il momento meccanico è dovuto solo  al peso della sbarra,  m₂g, applicata al CM_sbarra

n.12 - sistema solare

Supponendo che la traiettoria della terra attorno al sole sia una circonferenza con il sole al centro, valutare il momento angolare orbitale e il momento angolare intrinseco dalle Terra. Stimare l’errore percentuale che si fa considerando la terra un punto materiale, quando si calcola il momento angolare totale.

Dati:

La relazione che ci interessa è quella di Koenig: L_tot= L_orb+L_spin. Considerando la terra un punto materiale e  trascuriamo lo spin. Sapendo che il tempo di rivoluzione della terra attorno al sole è di 365 giorni, si può scrivere che il “periodo “ della terra nel suo moto attorno al sole è : T=3.2x10⁷ sec. Quindi:

La velocità  angolare di rotazione della terra attorno a se stessa si può calcolare in modo analogo, tenendo conto che il periodo di rotazione è di 24 ore , e cioè T=86400 sec., da cui 

Il  momento angolare “intrinseco” o “di spin” della terra descrive la rotazione rispetto all’asse polare che passa per centro della Terra, che pensiamo come una sfera. Possiamo applicare la relazione L=Iω che in questo caso diventa L_spin = I ω_spin, e il momento di inerzia è quello di una sfera , I=2/5 MR² .

Quindi:

Si può valutare infine il rapporto:

La differenza tra il considerare o no lo spin si sente alla settima cifra decimale.

n.8 - due dischi

Osservazioni: non ci sono momenti torcenti tali da far variare il momento angolare lungo l'asse dei dischi.

Per quanto riguarda l'energia: quella che consideriamo è la parte legata alla rotazione e che viene dissipata dall'attrito. Per quanto riguarda l'energia potenziale inziale del disco 2, essa viene dissipata dall'urto anelastico col disco 1.

n.5 - la sabbia

Per tutta la scussione vedi il problema "disco e pallina"

n.11 - asta e due masse, momento angolare

Mostrare con un semplice esempio che il vettore momento angolare non è in generale un vettore parallelo al vettore velocità angolare.

Il moto di questo corpo rigido si dice di precessione, se la velocità angolare resta costante in direzione e modulo e se l'inclinazione dell'asta con l'asse di rotazione resta costante.

n.3 - la pattinatrice

Una pattinatrice ruota su se stessa con le braccia stese in fuori ad una velocità di 1,9 giri/s, ed un momento di inerzia di 1,33 kg.m². Quando stringe le braccia al petto, per aumentare la sua velocità il suo momento di inerzia diventa 0,48 kg.m². Che velocità rotazionale raggiunge?

L  si conserva.

Un ragazzo  in piedi su una piattaforma ruotante ha una velocità di rotazione di 0,25 giri/min, quando tiene le braccia allargate e orizzontali,ed una velocità di 0,8 giri/min quando serra le braccia contro al corpo. Trovare il rapporto tra i suoi momenti di inerzia, nei due casi.

Poiché  L si conserva.