Domanda di teoria - conservazione energia

Discutere la conservazione dell'energia

Ci sono delle grandezze fisiche che sono delle costanti del moto. Una costante del moto è una grandezza che resta invariata durante l'evoluzione del sistema. Abbiamo visto per esempio il momento angolare, che, nel caso del campo gravitazionale e se calcolato rispetto al centro del campo, rimane costante.  Così, nell'orbita dei pianeti, se il pianeta è vicino al sole esso si muove più veloce, e se è lontano, si muove più lento. Il prodotto vettoriale del raggio vettore e della velocità resta però costante.

Le costanti del moto sono quindi degli oggetti che sono conservati durante l'evoluzione nel tempo del sistema. Cercare quindi le costanti del moto ci porta a stabilire delle leggi di conservazione. Oltre a quella riguardante il momento angolare, esiste la conservazione dell'energia. L'energia in meccanica coinvolge i concetti di energia cinetica, energia potenziale e lavoro. 

Vediamo che forma ha l'energia quando diventa una costante del moto. Consideriamo  una forza che lavora su una particella che si muove tra due punti dello spazio. Supponiamo che il lavoro non dipenda dal percorso fatto tra i due punti. Immaginiamo quindi che la forza provenga da un campo definito in una certa regione dello spazio e che, scelta la coppia di punti iniziale A e finale B  facendo un percorso qualsiasi da A a B, si ottenga sempre lo stesso lavoro.  

Prendiamo A, B ed il riferimento O come in figura. :

L’espressione è valida per l’additività del lavoro come integrale. Poiché il lavoro non dipende dal percorso, il lavoro L(O->B) sarà una funzione W solo del punto iniziale O e del punto finale B; lo stesso vale per L(O->A), che è una funzione W del punto O e del punto B. Il lavoro L(A->B) è quindi la differenza della funzione  W, valutata una volta come W(O,B) e un'altra volta come funzione W(O,A).  Si definisce l’energia potenziale U(O,A) come –W(O,A) e U(O,B) come –W(O,B).
Ricordiamo inoltre che vale il teorema dell’energia cinetica. Quindi:

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è l’energia meccanica totale, che è una costante del moto se la forza un lavoro che non dipende del percorso fatto ma solo dai punti iniziale e finale. Siccome la costante del moto "energia" resta costante al variare del tempo, si dice che l'energia è conservata. 
La forza che genera una dinamica con l'energia costante è una forza conservativa.

Notiamo anche che l’energia potenziale è data a meno di una costante. Supponiamo di avere oltre al punto O un altro punto O’.

L’energia potenziale è data a meno della costante U(O’,O) che non ha influenza nel calcolo della differenza di energia potenziale.

Domanda di teoria - Momento angolare in coordinate polari

Discutere il momento della quantità di moto in coordinate polari.

Prima di discutere il momento del vettore “quantità di moto”, ricordiamo che le coordinate polari di un punto nel piano sono basate sulla distanza r da un polo fisso, data dal modulo del raggio vettore che unisce il polo al punto P e sull’angolo tra la direzione del raggio vettore e l’asse di riferimento (ad esempio x in figura) 

Il legame delle coordinate cartesiane con le coordinate polari è dato da x=r cosθ, y=r sinθ.
Consideriamo ora una traiettoria e un punto su di essa P. A P, la velocità è tangenziale la traiettoria. Prendiamo ora il riferimento polare e disegniamo la direzione radiale (u_r) e la direzione a essa perpendicolare (u_θ). In genere, il vettore velocità ha una direzione diversa dalle due direzioni u_r u_θ.

Possiamo pensare di scomporre il vettore velocità in due componenti, come in figura seguente:

La componente della velocità diretta come direzioni u_r è detta “radiale”, quella diretta come u_θ è detta “trasversa” o trasversale. Per quanto riguarda i moduli delle due componenti si ha che v_r=dr/dt, che indica la variazione della distanza radiale nel tempo, e v_θ= r dθ/dt che indica una rivoluzione sulla circonferenza di raggio r a una velocità angolare data da dθ/dt.

Quindi:

Calcoliamo ora il momento di questa velocità rispetto al polo del riferimento polare:

 Il primo prodotto è nullo perché prodotto esterno di vettori paralleli. Vediamo quindi che rimane solo il termine che contiene la velocità trasversale. Moltiplichiamo per la massa per avere il momento della quantità di moto:

Il vettore momento della quantità di moto è perpendicolare al piano che contiene il raggio vettore e il vettore velocità. La direzione di questo vettore è data da quella del vettore unitari u_z. Notiamo che, utilizzando le componenti polari della velocità, nell’espressione finale compare solo la componente trasversale della velocità, che contiene una velocità angolare. Ciò giustifica il fatto che il momento della quantità di moto venga detto “momento angolare” Siccome raggio vettore e direzione trasversa sono perpendicolari, il modulo è semplice da calcolare.

Domanda di teoria - pendolo

Discutete il pendolo

Si prenda un punto materiale di massa m appeso tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile: esso costituisce il cosiddetto pendolo semplice. Se spostiamo il punto dalla verticale, esso inizia ad oscillare intorno a questa posizione che è la posizione di equilibrio. Studiamo il moto della massa.

Le forze che agiscono sulla massa sono il peso e la tensione della fune.

L'accelerazione è in parte parallela ed in parte ortogonale alla traiettoria, poiché la risultante R vettoriale delle forze ha componenti parallela ed ortogonale:

Il segno negativo  (-mg sin θ= m a_parall) deriva dal fatto che la forza si oppone alla crescita dell'angolo θ: è quindi una forza di richiamo. Sappiamo, dallo studio della cinematica, che l'accelerazione ortogonale alla traiettoria è l'accelerazione centripeta: 

                                                          

L'accelerazione parallela è quella tangenziale: 

che è la derivata della velocità lungo la linea (velocità scalare, data dall'incremento dell'arco rispetto al tempo). Ricordiamo che la velocità lineare è legata alla velocità angolare dalla relazione:

In questa equazione L è la lunghezza del filo che è anche il raggio della circonferenza cui l'arco della traiettoria del pendolo appartiene. Ricordiamo che dθ/dt è la velocità angolare. Quindi l’accelerazione parallela è:

L’equazione per la componente parallela alla traiettoria diventa:

dove abbiamo semplificato  la massa e diviso per L.

Se θ è piccolo, è possibile confondere il seno con l'angolo stesso: sinθ=θ, e quindi: 

Poniamo 

La soluzione dell'equazione è del tipo: θ=θ_o cos(ωt+ф), dove θ_o è detta ampiezza e ф è la fase iniziale. Verifichiamo che questa è soluzione dell'equazione, calcolando la derivata seconda dell'angolo:

E quindi si verifica l’equazione. I parametri θo e φ dipendono dalla condizione iniziale del moto. Supposiamo che al tempo t=0, il pendolo formi un angolo  Θ  rispetto alla verticale, allora:

L’angolo iniziale è dato dall’ ampiezza moltiplicata per il coseno della fase iniziale.

Immaginiamo ora di lasciar andare la massa da ferma: la  fase iniziale è nulla e Θ=θo.

Allora possiamo descrivere il moto con la funzione: 

  

Il periodo delle oscillazioni è il periodo della funzione coseno: 

Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità. Non dipende dalla massa e dal valore di θ_o.

L’equazione che abbiamo trovato per le piccole oscillazioni del pendolo è una equazione armonica: è la stessa equazione che descrive il moto di una massa vincolata ad una molla. Spostando la massa dalla posizione di equilibrio di una quantità x sappiamo che su di essa agisce una forza di richiamo F=-kx.,  dove k è la costante elastica della molla. L'equazione del moto è quindi:

Ma questa equazione è la stessa che abbiamo già incontrato per il pendolo se al posto di x pensiamo di avere l'angolo θ e al posto del rapporto k/m il rapporto L/g. La soluzione allora sarà: 

Domanda di teoria - moto circolare

Discutere il moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme, ed in generale il moto circolare, dovrebbe essere descritto usando le coordinate polari, con polo nel centro della circonferenza, che è la traiettoria del moto, ed un asse x, come mostrato in figura. Il punto si muove sulla circonferenza di raggio r e quindi la coordinata radiale è r ed è costante, mentre quella angolare è data da come  l'aagolo ф  varia col tempo.

Introduciamo il vettore unitario radiale u_r e il vettore unitario u_ф tangenziale al cerchio, ortogonale ad u_r come in figura. Questi due vettori cambiano col tempo: è vero che il loro modulo rimane costantemente fisso ad 1, ma la direzione cambia seguendo il moto del punto lungo la curva. 

Ci sono delle relazioni che legano questi due vettori unitari a i e j che sono i vettori unitari del piano cartesiano. Queste relazioni sono: 

  

La velocità è data da  v=v u_ф , prodotto della velocità scalare per il vettore unitario tangenziale.
Vogliamo calcolare l’accelerazione. Deriviamo la velocità:

 

Calcoliamo la derivate del vettore unitario u_ф:

Lasciatemi ricordare che abbiamo usato la seguente formula di derivazione:

 I vettori unitari i e j  hanno derivate nulle perché sono fissi. Quindi:

Se la velocità angolare è costante: ф=ω∙t. Ricordiamoci che tra angoli, archi e raggio esiste la relazione s=rф, come in figura.

Calcoliamo:

  

Definiamo ds/dt=v , la velocità scalare: abbiamo che  v = r ω. L’accelerazione è in generale data dalla somma di una componente centripeta e da una tangenziale. Se la velocità angolare è costante, l’accelerazione tangenziale è nulla. Resta solo il termine centripeto:

Alla velocità angolare si può dare un carattere vettoriale, introducendo il vettore velocità angolare, che è perpendicolare al cerchio e tale che il suo prodotto col raggio vettore dia il vettore velocità, come si vede in figura.

 

Se deriviamo la velocità, abbiamo:

Se la velocità angolare resta costante, c’è solo il termine centripeto, come abbiamo già discusso prima.

Quindi, nel caso del moto circolare uniforme:

Domanda di teoria - moto rettilineo

Discutere il moto su una retta.

La cinematica si occupa del moto dei corpi senza discutere le cause che lo determinano. Il problema più semplice che iniziamo a studiare è quello della descrizione del moto di un punto materiale. Il punto materiale è un corpo le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze tipiche dell'ambiente in cui si trova. Anche la terra nel suo moto intorno al sole può essere considerata un punto materiale perché il suo diametro è molto più piccolo della distanza terra-sole. (Nel caso si avesse un oggetto rigido esteso, le cui dimensioni non siano trascuabili, il moto può essere descritto col moto del centro di massa e con la rotazione attorno ad esso).
Per descrivere il moto di un punto dobbiamo innanzitutto dire rispetto a che riferimento lo descriviamo. Prendiamo come riferimento tre assi cartesiani x, y e z ed un orologio. Il moto del punto P sarà dato dalle coordinate di P nel riferimento in funzione del tempo t: x(t),y(t),z(t).

La traiettoria del punto sarà l'insieme di tutti i punti in cui si trova il corpo con le coordinate cartesiane date in funzione del tempo. Il caso più semplice da trattare è quello del moto rettilineo, cioè del moto che avviene su una retta. In questo caso il riferimento cartesiano è un asse coincidente con la retta lungo cui avviene il moto, su cui dobbiamo fissare un'origine ed un verso: associato all'asse x ci sarà allora anche il vettore unitario i che ci dice qual è il verso di percorrenza dell'asse che noi assumiamo positivo. Un cronometro serva per misurare il tempo.

Il moto del punto P sarà descritto dalla funzione x(t), dove la coordinata può essere positiva o negativa a seconda dell'orientazione dell'asse. Nella figura, x sarà positiva a destra di O e negativa se a sinistra di O.

Adesso immaginiamo di seguire il moto del punto sull'asse registrando le posizioni che esso occupa ed il tempo a cui le occupa. Consideriamo due istanti t e t' e chiamiamo le due posizioni occupate P e P' con coordinate x ed x'.

Nell'intervallo di tempo (t'-t) il punto si è spostato rispetto all'origine di (x'-x). Definiamo la velocità media come il rapporto:

Notiamo che essa può essere positiva o negativa a seconda che il punto si muova concordemente con il versore o no. Se l'intervallo di tempo diventa molto piccolo, ossia tende a zero, la velocità media descriverà istante per istante, e quindi sempre meglio, la velocità del punto materiale: la velocità media verrà allora chiamata velocità istantanea.

Se scriviamo l'operazione matematica di limite per un intervallo di tempo  che diventa sempre più piccolo, ossia facciamo tendere t' a t, la velocita' media diventa la velocità istantanea. Essa è definita come:

dove con dx e dt si sono indicati gli spostamenti (x'-x) e (t'-t) molto piccoli. Il rapporto dx/dt indica l'operazione matematica di derivazione. La variabile x è una funzione del tempo x(t): se si calcola il rapporto

si ha l'incremento della funzione (nel nostro caso, della posizione x) rispetto all'incremento del tempo: al limite per l'intervallo di tempo che tende a zero si ha la rapidità di questa variazione.

Lo stesso ragionamento fatto per la velocità si può fare per l' accelerazione che dà la variazione della velocità riferita al tempo. L'accelerazione media è:



e quella istantanea:

Ma se ci ricordiamo che: v=dx/dt allora:

dove si è introdotta la notazione della derivata seconda rispetto alla variabile t.

Discutiamo ora le dimensioni della velocità e della accelerazione. La prima grandezza è il rapporto di uno spazio su di un tempo mentre l'accelerazione è il rapporto di una velocità su di un tempo e quindi:

Le unità di misura nel sistema internazionale saranno m/s e m/s/s mentre nel CGS saranno cm/s e cm/s/s rispettivamente.

Studiamo ora alcuni moti rettilinei semplici e cerchiamo di dare per ciascuno di essi l'equazione del moto, ossia l'equazione di x in funzione del tempo t.

I caso: Il punto è fermo, l'equazione che descrive la traiettoria, ossia le posizioni occupate al passare del tempo sono semplicemente:

Infatti, se al tempo iniziale to, che è l'istante di tempo cui noi cominciamo l'osservazione del moto, il punto era in xo, esso vi resta anche negli istanti successivi.

II caso: Moto uniforme. Il punto si muove a velocità costante:

Proviamo a scrivere come equazione del moto:

(*)

Vediamo se è vero. Notiamo che al tempo t=to, x=xo: non è altro che la posizione occupata al tempo iniziale dalla particella e che noi chiamiamo posizione iniziale. È quindi un termine necessario per avere il valore di xo al tempo zero. Se deriviamo l'espressione  (*) rispetto al tempo, otteniamo:

che dice cha la velocità della particella è costante ed è vo. Il contributo vo(t-to) rappresenta l'incremento della posizione al passar del tempo.

III caso: Moto uniformemente accelerato. Il punto si muove con una accelerazione costante

a=costante

Come sarà la velocità v e la posizione x? Proviamo con le due seguenti equazioni e vediamo se sono corrette:

 v = vo +ao (t-to)                                (*)
 x = xo + vo (t-to) + 1/2 ao (t-to)^2     (**)

Se utilizziamo le definizioni (*) e (**) di posizione x e di velocità v date sopra:

Derivando ancora

Le due equazioni (*),(**) sono quindi quelle che descrivono in modo corretto il moto uniformemente accelerato. Notiamo che i valori di x,v,a possono essere positivi o negativi. x è positivo o negativo a seconda della scelta dell’orientazione dell‘asse. Lo stesso vale per velocita’ ed accelerazione, se sono concordi o discordi con l’orientazione dell’asse.

Ovviamente il moto può avere accelerazione non costante, ma dipendente dal tempo: a=a(t). In questo caso la velocità è data dall’integrale:

Una volta calcolata la velocità in funzione del tempo, si puo’ calcolare la posizione in funzione del tempo si ha:

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