Domanda di teoria - moto circolare

Discutere il moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme, ed in generale il moto circolare, dovrebbe essere descritto usando le coordinate polari, con polo nel centro della circonferenza, che è la traiettoria del moto, ed un asse x, come mostrato in figura. Il punto si muove sulla circonferenza di raggio r e quindi la coordinata radiale è r ed è costante, mentre quella angolare è data da come  l'aagolo ф  varia col tempo.

Introduciamo il vettore unitario radiale u_r e il vettore unitario u_ф tangenziale al cerchio, ortogonale ad u_r come in figura. Questi due vettori cambiano col tempo: è vero che il loro modulo rimane costantemente fisso ad 1, ma la direzione cambia seguendo il moto del punto lungo la curva. 

Ci sono delle relazioni che legano questi due vettori unitari a i e j che sono i vettori unitari del piano cartesiano. Queste relazioni sono: 

  

La velocità è data da  v=v u_ф , prodotto della velocità scalare per il vettore unitario tangenziale.
Vogliamo calcolare l’accelerazione. Deriviamo la velocità:

 

Calcoliamo la derivate del vettore unitario u_ф:

Lasciatemi ricordare che abbiamo usato la seguente formula di derivazione:

 I vettori unitari i e j  hanno derivate nulle perché sono fissi. Quindi:

Se la velocità angolare è costante: ф=ω∙t. Ricordiamoci che tra angoli, archi e raggio esiste la relazione s=rф, come in figura.

Calcoliamo:

  

Definiamo ds/dt=v , la velocità scalare: abbiamo che  v = r ω. L’accelerazione è in generale data dalla somma di una componente centripeta e da una tangenziale. Se la velocità angolare è costante, l’accelerazione tangenziale è nulla. Resta solo il termine centripeto:

Alla velocità angolare si può dare un carattere vettoriale, introducendo il vettore velocità angolare, che è perpendicolare al cerchio e tale che il suo prodotto col raggio vettore dia il vettore velocità, come si vede in figura.

 

Se deriviamo la velocità, abbiamo:

Se la velocità angolare resta costante, c’è solo il termine centripeto, come abbiamo già discusso prima.

Quindi, nel caso del moto circolare uniforme: