Earnshaw's Theorem

Earnshaw's theorem states that a collection of point charges cannot be maintained in a stable stationary equilibrium configuration solely by the electrostatic interaction of the charges. This was first proven by British mathematician Samuel Earnshaw in 1842. It is usually referenced to magnetic fields, but was first applied to electrostatic fields. Earnshaw's theorem applies to classical inverse-square law forces (electric and gravitational).
It means that it is linked to the Gauss Law. And here a proof.

Campo di una sfera carica

Discutete il campo elettrico creato da una sfera con carica +Q, distribuita con densità uniforme in tutta la sfera.

Diciamo per prima cosa che la sfera deve essere fatta di un materiale isolante di modo che la carica distribuita uniformemente in essa resti dove è stata posta. Se fosse di materiale conduttore, la repulsione che vi è tra le cariche le spingerebbe a disporsi solo sulla superficie. Considerando quindi una sfera isolante uniformemente carica (+Q carica totale) con raggio a, il campo  elettrico è a simmetria sferica, radiale, ma ha un modulo che dipende dalla distanza dal centro della sfera nel modo seguente:

dove u_r è il vettore unitario con direzione radiale, verso l’esterno.

Per arrivare a questo risultato ci possiamo servire della  legge di Gauss, che dice che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica contenuta nella superficie, divisa per la costante dielettrica del vuoto.

Iniziamo con il discutere il campo elettrico in un punto P esterno la sfera. Prendiamo come superficie gaussiana una sfera con centro nel centro della sfera carica e raggio r. Calcoliamo il flusso attraverso questa sfera, ricordandoci che il campo elettrico è a simmetria sferica e su tutti i punti della sfera gaussiana deve avere lo stesso modulo e direzione radiale verso l’esterno.

Si ha quindi:

Ora prendiamo un punto dentro la sfera. Non tutta la carica Q entra nella legge di Gauss: c’è solo quella che è contenuta dentro la sfera più piccola di raggio r.

Con direzione radiale, verso l’esterno.

Se invece di avere una distribuzione di carica, si avesse avuto una distribuzione sferica a densità uniforme di massa, l'andamento del campo gravitazionale sarebbe stato analogo, nel senso che sarebbe stato zero al centro della sfera, sarebbe crescioto linearmente in modulo fino alla superficie per poi decrescere con l'inverso del quadrato della distanza fuori dalla sfera. Ricordiamoci che il verso del campo è verso il centro della sfera essendo la gravitazione sempre attrattiva. 

Millikan's experiment

Testo e immagine adattati da

Halliday - Resnick - Crane

Fisica II

Dipolo

Un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno. È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta inoltre l'approssimazione basilare del campo generato da un insieme di cariche globalmente neutro tramite lo sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Immagini adattate dal libro

Halliday, Resnick, Krane, Fisica 2