Questa equazione riguarda l'evoluzione temporale del momento angolare di un sistema.
Si definisce come momento angolare di una particella di massa m e di velocità v il vettore:
definito tramite il prodotto vettoriale o prodotto esterno tra il vettore posizione r ed il vettore P=mv quantità di moto. Nella definizione del momento angolare abbiamo introdotto il vettore posizione: questo vettore è definito rispetto ad un punto scelto come polo O. Il polo lo consideriamo come un punto fisso nel riferimento inerziale scelto. Se si cambia il punto O cambia anche il vettore L. Infatti, se si cambio il polo in O’, la relazione che lega il nuovo momento angolare L’ calcolato rispetto al punto O' ed il momento angolare L rispetto ad O è la seguente:
Il momento di una forza è definito come:
che dipende dalla scelta del punto O come per il momento angolare. Nel calcolo, il polo deve essere lo stesso per il momento angolare e per il momento della forza.
Calcoliamo la derivata rispetto al tempo del vettore L. Per la derivazione applichiamo la stessa regola già vista per la derivazione dei prodotti di funzioni:
che è la relazione che rappresenta il teorema del momento angolare per un punto materiale: la derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza. Il termine vxmv è nullo essendo il prodotto esterno di due vettori paralleli. Il momento della forza può essere nullo se la forza è nulla oppure se i vettori r ed F sono paralleli (come ad esempio nel caso delle forze centrali, con il centro preso come polo):
Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo (e cioè si conserva) se il momento delle forze è nullo.
Supponiamo di avere adesso un insieme di particelle di massa mi e di vettori velocita’ vi. La posizione di ciascuna particella rispetto al polo O sia il vettore ri. Il momento angolare totale sarà:
L’indice i varia da 1 a N, numero totale delle particelle.
Enunciamo il teorema del momento angolare per un sistema di particelle. Se il punto O rispetto a cui calcoliamo il vettore posizione è fisso nel riferimento inerziale l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinato dal momento delle forze esterne rispetto ad O, mentre le forze interne non portano alcun contributo.
Dato il momento totale delle forze esterne:
Quando si conserva il momento angolare? Quando il vettore t ext è nullo e questo capita quando il momento totale delle forze è nullo oppure quando non vi sono forze esterne che agiscono sul sistema stesso e cioè è il sistema è isolato.
Dimostriamo il teorema del momento angolare per un sistema di due particelle. Queste due particelle possono essere una coppia appartenente ad un sistema: la dimostrazione fatta per la coppia ovviamente può essere ripetuta per ciascuna coppia del sistema, e quindi estendere la dimostrazione a tutto il sistema.
Calcoliamo il momento totale delle forze che agiscono sulla particella i e sulla particella j:
dove i vettori F sono le forze esterne e i vettori f sono le forze interne.
Siccome le forze interne hanno la stessa retta d'azione e il modulo uguale ma verso opposto:
Il prodotto esterno è nullo perché fatto tra due vettori paralleli. Rimangono solo i momenti delle forze esterne al sistema.
