Un trucchetto per i calcoli

C'è un semplice trucchetto per fare i calcoli dei problemi di fisica in modo rapido e senza commettere errori. Per esempio:

Un cilindro con momento d'inerzia I' può ruotare intorno al suo asse. Una corda è avvolta su di esso e passa nella gola di una carrucola. All'estremità della corda è attaccata una massa m. Con quale accelerazione scende la massa m?

Dopo aver fatto i diagrammi di corpo libero, scriviamo le equazioni per m,I ed I'. Mettiamo a sinistra i termini tipo "ma","I alpha". alpha è l'acc. angolare.

ma = mg-T

I alpha= Tr-T'r

I' alpha'=T'R

alpha=a/r; alpha'=a/R

Riscrivo il sistema:

ma = mg - T

I a/r = Tr-T'r

I' a/R= T'R

ma = mg - T

(I/r^2) a = T - T'

(I'/R^2) a = T'

Invece di ricavare e sostituire T' e T,  sommo le equazioni:

a [m+I/r^2+I'/R^2]= mg - T + T - T' + T' = mg

a= mg/[m+I/r^2+I'/R^2]

In questa maniera, l'accelerazione è trovata rapidamente senza ricorrere alle sostituzioni. 

Asta che ruota

Un’asta di lunghezza d = 0.5 m è incernierata ad un estremo al piano orizzontale. Inizialmente è sostenuta all’altro estremo in modo da fare un angolo θ pari a 30° con l’orizzontale. L’asta viene abbandonata e lasciata cadere, senza velocità iniziale, sul piano. Calcolare la coordinata x_cm del centro di massa quando l’asta è orizzontale e la velocità v_cm nello stesso istante.

Asta che cade su piano senza attrito

Un’asta di lunghezza d = 0.5 m è appoggiata con un estremo su un piano orizzontale liscio e sostenuta all’altro estremo in modo da fare un angolo θ pari a 30° con l’orizzontale. L’asta viene abbandonata e lasciata cadere, senza velocità iniziale, sul piano. Calcolare la coordinata x_cm del centro di massa quando l’asta è orizzontale e la velocità v_cm nello stesso istante.

 

Spostamenti nel rotolamento

Disco e blocco su piano inclinato

Dischi, massa e molla

I due dischi in figura, di massa M1 ed M2 e raggio R1 ed R2, sono vincolati a ruotare attorno ad assi passanti per i loro centri. I dischi  ruotano senza strisciare su un dischetto di massa trascurabile, anche esso ruotante attorno ad un asse centrale. Una massa M è appesa a un filo inestensibile, avvolto al disco di destra. Il disco a sinistra è collegato con una molla di costante elastica K e lunghezza a riposo nulla ad un punto fisso. Il sistema è inizialmente fermo con la molla scarica (allungamento nullo). Il sistema viene lasciato libero di muoversi. Quale è il massimo abbassamento della massa M?

Energia e corpo rigido

Un disco di massa M e raggio R è posto in un piano verticale. Esso è vincolato al suo centro a un asse orizzontale attorno al quale può ruotare senza attrito. Al suo bordo è fissata una massa m. Inizialmente il disco è tenuto fermo. Viene lasciato libero di ruotare: che velocità angolare avrà quando la massa m passa per il punto più basso?

Pendolo fisico , piccole oscillazioni

n.23 - una pallina rotola su una pista

Una pallina rotola su una pista posta in un piano verticale. Nota bene: il moto della pallina è di puro  rotolamento. Quale è il minimo valore di h, che le consenta, partendo da ferma di arrivare in 3? (problema proposto da A.Strigazzi)

Nel punto più alto ci sono forze verticali: peso ed N. Poi c'è l'attrito statico per via del rotolamento.

MA, se N=0, questo attrito, che deve essere minore o uguale a mu_s N, è nullo.

Quindi N=0, implica F_s =0.

Confrontate la (6) col risultato di

http://physics-sparavigna.blogspot.it/2013/06/pista-liscia.html

Alfredo usa una pallina piena, non cava.

Cilindro e oscillazioni

n.32 - Asta

n.34 - statica e altro

Solo la prima parte è stata presa come esercizio per un esame.

n.4 - la macina

n.13 - Esercizio con piano inclinato

Determinare l'accelerazione del centro di massa di un disco che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato.

Il disco rotola senza strisciare per via dell'attrito statico. L'attrito statico non è dissipativo e quindi posso applicare la conservazione dell'energia. Quando il centro di massa del disco scende di un tratto dh, il centro di massa si muove lungo il piano inclinato di un tratto dl. Si ha che dh = dl sin(theta).

Risolvete il problema usando la dinamica. 

n.11 - asta e due masse, momento angolare

Mostrare con un semplice esempio che il vettore momento angolare non è in generale un vettore parallelo al vettore velocità angolare.

Il moto di questo corpo rigido si dice di precessione, se la velocità angolare resta costante in direzione e modulo e se l'inclinazione dell'asta con l'asse di rotazione resta costante.

n.6 - Esercizio disco e motore

Per determinare la potenza di un motore elettrico si fissa al suo albero una puleggia (un disco quindi) di raggio R=25 cm, sulla quale passa una cinghia che ha un estremo fissato a una molla ( K=500 N/m ). La cinghia  sostiene all’altro estremo un blocco di massa M=2 kg. Sapendo che quando il motore gira a 300giri/m, l’allungamento della molla  D  è di 10 cm, si determini la potenza del motore. Si supponga trascurabile l’attrito del perno. (Soluzione P=238.76 Watt).

Quello che si deve fare è trovare una massa M  tale che il disco non ruoti. Per l’equazione della rotazione, se il disco non ruota, vuol dire che il momento totale che agisce su di esso è nullo. Il principio della misura della potenza del motore consiste nell’equilibrare il momento τ del motore, che farebbe girare il disco con un  momento torcente τ_e, che si possa  controllare. In questo modo si può avere il momento torcente del motore conoscendo τ_e .Chiamiamo τ il momento torcente del  motore,  cioè il momento meccanico generato dal motore che fa ruotare la puleggia. La molla esercita una tensione T₂ sulla puleggia, generando un momento meccanico τ₂. La tensione T₁ dovuta al peso di M genera un momento meccanico τ₁. Se si è quindi appesa la massa giusta per una data frequenza del motore, la puleggia sta ferma.

Abbiamo quindi:

T₁ = M g

T₂ = K Δ

In condizioni di regime deve essere nullo il momento risultante rispetto all’asse di rotazione.

 τ + τ₁ − τ₂ = τ + T₁∙R −T₂∙R = 0,  da cui

τ + M g ∙R −K Δ ∙R=0,  e quindi

τ = KΔ∙R − Mg∙R

La potenza è P = τ ω e quindi:

P=τ ω= (KΔ − Mg)∙R∙2πν=(500x0.10−2x9.8)x0.25x2πx300/60=238.76 Watt.