Campo di una sfera carica

Discutete il campo elettrico creato da una sfera con carica +Q, distribuita con densità uniforme in tutta la sfera.

Diciamo per prima cosa che la sfera deve essere fatta di un materiale isolante di modo che la carica distribuita uniformemente in essa resti dove è stata posta. Se fosse di materiale conduttore, la repulsione che vi è tra le cariche le spingerebbe a disporsi solo sulla superficie. Considerando quindi una sfera isolante uniformemente carica (+Q carica totale) con raggio a, il campo  elettrico è a simmetria sferica, radiale, ma ha un modulo che dipende dalla distanza dal centro della sfera nel modo seguente:

dove u_r è il vettore unitario con direzione radiale, verso l’esterno.

Per arrivare a questo risultato ci possiamo servire della  legge di Gauss, che dice che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica contenuta nella superficie, divisa per la costante dielettrica del vuoto.

Iniziamo con il discutere il campo elettrico in un punto P esterno la sfera. Prendiamo come superficie gaussiana una sfera con centro nel centro della sfera carica e raggio r. Calcoliamo il flusso attraverso questa sfera, ricordandoci che il campo elettrico è a simmetria sferica e su tutti i punti della sfera gaussiana deve avere lo stesso modulo e direzione radiale verso l’esterno.

Si ha quindi:

Ora prendiamo un punto dentro la sfera. Non tutta la carica Q entra nella legge di Gauss: c’è solo quella che è contenuta dentro la sfera più piccola di raggio r.

Con direzione radiale, verso l’esterno.

Se invece di avere una distribuzione di carica, si avesse avuto una distribuzione sferica a densità uniforme di massa, l'andamento del campo gravitazionale sarebbe stato analogo, nel senso che sarebbe stato zero al centro della sfera, sarebbe crescioto linearmente in modulo fino alla superficie per poi decrescere con l'inverso del quadrato della distanza fuori dalla sfera. Ricordiamoci che il verso del campo è verso il centro della sfera essendo la gravitazione sempre attrattiva. 

Le linee di Faraday

Discutete il concetto di campo e la sua rappresentazione con le linee di Faraday

In fisica, il concetto di campo nasce per rappresentare l'azione a distanza tra masse gravitazionali e cariche elettriche. Un campo gravitazionale (o elettrico) è un campo di forze generato nello spazio dalla presenza di una massa (o di carica elettrica). In elettromagnetismo si studierà anche il campo magnetico.

Il campo gravitazionale è un campo conservativo, come lo è anche il campo elettrostatico, creato da una distribuzione di carica indipendente dal tempo.

In generale, con "campo di forze" si intende un campo vettoriale che genera una forza dipendente dalla posizione e dal tempo su una massa o una carica esploratrice. Per massa o carica esploratrice si intende una particella molto piccola, tale da non perturbare il campo in cui essa viene posta. Nel caso del campo elettrico, si assume che la carica esploratrice sia una piccola carica positiva.

Per rappresentare un campo vettoriale si usano le linee di Faraday. D'ora in poi, la discussione  si intende fatta per il campo elettrico, tenendo presente che essa  è facilmente adattabile al campo gravitazionale.  In ogni punto dello spazio si può porre una piccola carica esploratrice. Spostando la particella esploratrice si trovano direzione e  verso locali della forza che agisce sulla particella. Si uniscono le direzioni locali per creare delle linee dette "linee di forza". Vediamo un esempio di campo per cariche puntiformi.

Per convenzione il numero delle linee di forza in una certa regione dello spazio è proporzionale al modulo del campo ivi presente. Se osserviamo la figura, raddoppiando la carica abbiamo raddoppiato il numero di linee. Ovviamente la rappresentazione in figura è bidimensionale: dovrebbe essere immaginata come una distribuzione nello spazio. 

Prendiamo l'esempio della carica +q: se ci allontaniamo da essa le linee diventano meno dense. Però il numero di linee rimane costante, come richjesto dalla legge di Gauss. 

Consderiamo ora il caso di un campo conservativo. Campo conservativo significa che la forza è conservativa. Si può quindi definire un'energia potenziale e un potenizale relativo al campo. Il potenziale è quindi un campo scalare. Esso viene rappresentato dalle superfici equipotenziali, ossia le superfici nello spazio i cui punti hanno tutti lo stesso potenziale. Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali, di modo che il campo "non lavori" quando la particella esploratrice si muove sulla superficie equipotenziale.

Principio di sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione riguarda una proprietà di certi sistemi fisici sulla base della quale la risposta prodotta dalla combinazione lineare, ossia la somma algebrica o la somma vettoriale, di un certo numero di sollecitazioni indipendenti può ottenersi sovrapponendo le risposte che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola. Quando abbiamo considerato per esempio la seconda legge di Newton, abbiamo usato la risulatnte delle forze come la somma vettoriale delle singole forze.  In cinematica, un famoso enunciato di Galileo Galilei riguardante i moti relativi rappresenta il principio di sovrapposizione per il moto.
Non sempre il principio di sovrapposizione è valido:  nei sistemi detti "non lineari",  gli effetti dipendono dall'ordine in cui si manifestano le cause.
Il vantaggio di poter applicare il principio di sovrapposizione sta nell'essere in grado di risolvere un problema secondo le componenti: ad esempio scomponendo le forze o gli spostamenti. Per esempio in un moto a due dimensioni possono essere la componente verticale e la componente orizzontale: è possibile risolvere il problema per ciascuna di queste componenti considerata singolarmente. Le componenti possono essere ricomposte nella risultante.
Nel caso dei campi, il principio di sovrapposizione assume una forma particolarmente interessante. Se abbiamo più masse gravitazionali puntiformi, il campo risultante è la somma vettoriale dei campi. Quindi, se abbiamo una massa distribuita in un certo volume finito, sappiamo calcolare il campo risultante, anche se la cosa può essere un po'  laboriosa: basta suddividere il volume del copro in tanti volumetti molto piccoli e sommare i relativi effetti gravitazionali.
La stessa cosa vale per il campo elettrico: se ho un insieme di cariche puntiformi il campo elettrico risultante è la sommatoria su tutte i campi create dalle i-esime cariche.

Se il campo è conservativo, il principio di sovrapposizione si estende all'energia potenziale (in quanto proviene dal calcolo del lavoro che è operazione lineare) e al  potenziale. Il potenziale che si ha in un certo punti dello spazio, creato di un sistema di particelle cariche (o di masse) è la somma dei potenziali.

L'esempio mostra il caso del potenziale scelto nullo all'infinito.

Gradiente, divergenza e rotore

Discutere gradiente, divergenza e rotore.

Campo gravitazionale e Coulombiano

Discutete il campo gravitazionale creato da una massa puntiforme e confrontatelo col campo Coulombiano di una carica puntiforme.

Il campo gravitazionale creato da una massa puntiforme M genera su una piccola massa espoloratrice m una forza descritta dalla legge di gravitazione universale di Newton. Questa azione è attrattiva. Se esploriamo lo spazio intorno alla  massa M vediamo che esso gode di una simmetria sferica. Se infatti immaginiamo attorno a M una sfera con centro in M, vediamo che in ogni punto della sfera l'attrazione gravitazionale F è diretta come il raggio, verso il centro e il modulo è sempre lo stesso. La forza gravitazionale è infatti una forza centrale con in modulo che dipende dall'inverso del quadrato della distanza.
Se introduciamo il vettore unitario ur diretto col raggio verso l'esterno, la forza ssume la forma seguente.

Possiamo definire il campo g come il vettore F/m.

G è la costante di gravitazione universale e vale: 

Il campo elettrico creato da una carica puntiforme è a simmetria sferica ed è dato da:

La costane k è ora:

  

con  epsilon_o=  8.8544*10^-12  coulomb²/N*m²  .