Domanda di teoria - dimensioni

Cosa sono le dimensioni e le equazioni dimensionali?

Quando studiamo un fenomeno dal punto di vista della  fisica studiamo le  grandezze fisiche . Esse sono tali  perché su di loro è possibile compiere delle misurazioni. È immediato quindi pensare alla  lunghezza come  grandezza fisica, perché nella pratica comune la misuramo con il metro. Ricordiamo che la misurazione è l`azione di confronto tra la grandezza fisica e la grandezza campione, che costituisce l'unità di misura di questa grandezza.
Oltre alla lunghezza, ache il tempo è un concetto comune. Il tempo diventa una grandezza fisica quanto confrontiamo un intervallo di tempo con, ad esempio, il periodo di oscillazione del pensolo. Possiamo prendere questo periodo come unità di misura: il tempo diventa così una grandezza fisica. La stessa cosa vale per la massa, se pensiamo alla sua misura con la bilancia. In questo caso il confronto avviene con masse campioni.

Vi sono però grandezze che si misurano indirettamente, come ad esempio la velocità. La velocità media sappiamo essere una distanza diviso il tempo impiegato a percorrerla. La misura sarà quindi ottenuta misurando la distanza, che è una lunghezza, e registrando il tempo con un cronometro. Il rapporto, per esempio in metri al secondo, ci darà la velocità. Per avere la  velocità si deve usare  lughezza e tempo. Anche l’accelerazione viene valutata con lunghezze e tempi.

Come nel linguaggio comune le dimensioni servono per descrivere gli oggetti (ad es.: altezza, larghezza, profondità di un tavolo, colore, materiale, etc.), così nella fisica si scelgono delle grandezze fisiche che sono considerate fondamentali. Esse sono nella cinematica la lunghezza ed il tempo. Se studiamo i fenomeni della meccanica, la  massa, la  lunghezza ed il  tempo; se studiamo i fenomeni elettromagnetici dobbiamo anche considerare la  carica elettrica. Se ci occupiamo di problemi termici dobbiamo utilizzare anche la  temperatura come grandezza fondamentale. Tutte le grandezze fisiche possono essere riferite a queste grandezze fondamentali che vengono chiamate dimensioni.

Si intende per  grandezza dimensionata una grandezza fisica che sia o una grandezza fondamentale o un prodotto di potenze di grandezze fondamentali.

Per esempio, l'accelerazione di gravita' g è dimensionalmente: 

Le unità di misura seguono di conseguenza: utilizzando il  metro per la lunghezza ed il  secondo per il tempo si ha  

Possono esistere diversi sistemi di misura: ricordiamo solo le unità di misura delle grandezze fondamentali meccaniche nel sistema SI (Sistema Internazionale) e nel CGS: in SI sono il  metro (m), il  secondo (s) ed il  kilogrammo (kg) mentre nel CGS sono il  centimetro (cm), il  secondo (s) ed il  grammo (g).
In fisica vi sono anche grandezze  adimensionate, esse sono dei numeri puri e provengono da rapporti tra grandezze dimensionate. Un esempio è il pi-greco che geometricamente è il rapporto tra la circonferenza ed il diametro.

Per spiegare che cosa è un’equazione dimensionale, facciamo il seguente esempio. Un’espressione della cinematica del moto rettilineo uniformemente accelerato è

  (1)

Ci possiamo chiedere se è dimensionalmente corretta. Supponiamo v e vo siano dellle velocità, a l'accelerazione e t un intervallo di tempo. Associamo a questa equazione, un’equazione dove ci siano le dimensioni delle grandezze in gioco:

                     

Le parentesi quadrate servono ad indicare che stiamo analizzando le dimensioni delle grandezze fisiche nelle parentesi. Sappiamo già che v e vo  sono due velocità, e che quindi hanno le stesse dimensioni: non ci resta che far vedere che il prodotto at ha le dimensioni di una velocità. Infatti è possibile sommare solo grandezze dello stesso tipo, come nel caso presente, velocità con velocità.
Quindi verifichiamo:

 L'equazione (1) è dimensionalmente corretta. Notiamo anche che i termini sommati nell’equazione dimensionale devono essere omogenei, ossia avere le stesse dimensioni. Ad esempio, possiamo sommare velocità con veloctià, ma non velocità con accelerazione.

Un uso delle equazioni fondamentali è mostrato dall’esempio seguente. Noi sappiamo che per tenere un oggetto in moto su di una circonferenza con velocità costante è necessaria una forza chiamata  forza centripeta. Quali sono le dimensioni della forza centripeta?

Pensiamo alla massa m come una pallina che ruota tenuta da una fune lunga R. Chiediamoci allora quali sono le grandezze  coinvolte nel problema: ci sono la  massa m che si muove su una circonferenza di raggio R con velocità v. La fune è la responsabile del moto circolare ed è lei che esercita la forza centripeta.
Proviamo a scrivere una equazione per la forza:

dove diciamo che la forza dipende dalla massa, dal raggio della traiettoria e dalla velocità ma con certi esponenti a,b,c che non conosciamo. Conosciamo però le dimensioni della forza, della velocità e del raggio e quindi possiamo scrivere la seguente equazione con le dimensioni:

da cui:

Ora confrontiamo gli esponenti della massa, della lunghezza e del tempo: .a=1,1=b+c,-2=-b, da cui: a=1,b=2,c=-1,  In conclusione: 

La forza centripeta può essere solo proprzionale alla massa, proporzionale al quadrato della velocità e inversamente proporzionale al raggio.