Domanda di teoria - conservazione energia

Discutere la conservazione dell'energia

Ci sono delle grandezze fisiche che sono delle costanti del moto. Una costante del moto è una grandezza che resta invariata durante l'evoluzione del sistema. Abbiamo visto per esempio il momento angolare, che, nel caso del campo gravitazionale e se calcolato rispetto al centro del campo, rimane costante.  Così, nell'orbita dei pianeti, se il pianeta è vicino al sole esso si muove più veloce, e se è lontano, si muove più lento. Il prodotto vettoriale del raggio vettore e della velocità resta però costante.

Le costanti del moto sono quindi degli oggetti che sono conservati durante l'evoluzione nel tempo del sistema. Cercare quindi le costanti del moto ci porta a stabilire delle leggi di conservazione. Oltre a quella riguardante il momento angolare, esiste la conservazione dell'energia. L'energia in meccanica coinvolge i concetti di energia cinetica, energia potenziale e lavoro. 

Vediamo che forma ha l'energia quando diventa una costante del moto. Consideriamo  una forza che lavora su una particella che si muove tra due punti dello spazio. Supponiamo che il lavoro non dipenda dal percorso fatto tra i due punti. Immaginiamo quindi che la forza provenga da un campo definito in una certa regione dello spazio e che, scelta la coppia di punti iniziale A e finale B  facendo un percorso qualsiasi da A a B, si ottenga sempre lo stesso lavoro.  

Prendiamo A, B ed il riferimento O come in figura. :

L’espressione è valida per l’additività del lavoro come integrale. Poiché il lavoro non dipende dal percorso, il lavoro L(O->B) sarà una funzione W solo del punto iniziale O e del punto finale B; lo stesso vale per L(O->A), che è una funzione W del punto O e del punto B. Il lavoro L(A->B) è quindi la differenza della funzione  W, valutata una volta come W(O,B) e un'altra volta come funzione W(O,A).  Si definisce l’energia potenziale U(O,A) come –W(O,A) e U(O,B) come –W(O,B).
Ricordiamo inoltre che vale il teorema dell’energia cinetica. Quindi:

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è l’energia meccanica totale, che è una costante del moto se la forza un lavoro che non dipende del percorso fatto ma solo dai punti iniziale e finale. Siccome la costante del moto "energia" resta costante al variare del tempo, si dice che l'energia è conservata. 
La forza che genera una dinamica con l'energia costante è una forza conservativa.

Notiamo anche che l’energia potenziale è data a meno di una costante. Supponiamo di avere oltre al punto O un altro punto O’.

L’energia potenziale è data a meno della costante U(O’,O) che non ha influenza nel calcolo della differenza di energia potenziale.