L'oscillatore armonico semplice è determinato dall'equazione del moto: m a(t) + k x(t) = 0, che descrive il moto prodotto da una forza di richiamo elastica proporzionale allo spostamento della massa m dall'origine delle coordinate. a(t) indica l'accelerazione istantanea ed è pari alla derivata seconda di x rispetto al tempo.
La legge di questo moto è:
La legge di questo moto è:
x(t)=A cos (ωot + φ)
dove ωo = √(k/m) è la pulsazione propria (o naturale) dell'oscillazione libera, mentre A e φ sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto. Siamo ora interessati all'oscillatore forzato, che è un oscillatore armonico al quale si applica, oltre alla forza elastica, anche una forza esterna, armonica anch'essa, di frequenza arbitraria. L'equazione del moto diviene
m a(t) + k x(t) = F(t)
dove F(t)=Fo cos(ωt), è appunto la forza esterna. Assumiamo che il moto risultante sia ancora un moto armonico, e sostituiamo nell'equazione del moto la soluzione di prova:
x(t)=A cos (ωt)
Otteniamo l'equazione (-m ω2+k) A cos (ωt) = Fo cos(ωt), da cui otteniamo l'ampiezza del moto risultante in funzione dell'ampiezza Fo della forza applicata, e della pulsazione:
La regione attorno ad ω0 è la regione in cui si ha una risonanza. La risonanza corrisponde ad un massimo dell’ampiezza. Anzi, nel caso che stiamo studiando c'è una divergenza.
Studiando l'ampiezza dell'oscillazione come funzione della pulsazione della forza esterna appaiono immediate alcune considerazioni.
a) Data l'intensità della forza esterna, l'ampiezza delle oscillazioni è tanto maggiore quanto più la pulsazione della forza esterna ω è vicina alla pulsazione propria ω0 dell'oscillatore.
b) Pulsazioni molto maggiori o molto minori di ω0 tendono a ridurre l'ampiezza delle oscillazioni.
c) Per pulsazioni prossime ad ω0 avviene un fenomeno legato all’energia. L'energia della sorgente esterna si trasferisce in modo sempre più efficiente all'oscillatore, accumulandosi di periodo in periodo provocando oscillazioni sempre maggiori.
d) A ω = ω0 le oscillazioni diventano di ampiezza infinita. Nella realtà ciò non accade perché ci sono fenomeni di smorzamento.
Finora si è considerato l'oscillatore soggetto solamente alla forza di richiamo elastica e alla forza esterna periodica F(t)=F0cos(ωt). Nelle situazioni reali i sistemi oscillanti sono soggetti a fenomeni dissipativi, che smorzano cioè l'ampiezza delle oscillazioni dissipando energia. Ci possono essere diversi effetti dissipativi, quali l'attrito radente (se la massa scivola su di una superficie di appoggio scabra), all'attrito tra parti interne del sistema oscillante, all'attrito che il sistema incontra per la presenza di un mezzo viscoso. Quest’ultimo attrito è descrivibile per basse velocità da un'espressione del tipo:
Fattr= − γ v(t)= − γ dx(t)/dt
L'equazione del moto diviene
m a(t)= F(t) − kx(t) − γ v(t) (*)
dove, a secondo membro, abbiamo messo la forza totale agente sull'oscillatore.
L'equazione è quindi:
Per determinare una soluzione della nuova equazione, assumiamo stavolta una soluzione di prova
L'equazione è quindi:
Per determinare una soluzione della nuova equazione, assumiamo stavolta una soluzione di prova
x(t) = A cos (ωt+ф)
con l'idea di determinare le costanti A e ф in modo che essa fornisca una soluzione dell'equazione del moto (*). Ricordiamo che ωo = √(k/m). Dopo una serie di derivazione e sostituzioni, si arriva al risultato che:
Ancora una volta forza e posizione x non sono in fase tra loro.
Per pulsazioni della forzante molto diverse dalla pulsazione propria dell'oscillatore l'ampiezza delle oscillazioni resta piccola. Man mano che ci si avvicina alla risonanza la risposta dell'oscillatore diventa sempre più grande. Essa non è infinita ma raggiunge un massimo, determinato dal coefficiente di attrito del sistema. Il coefficiente d'attrito provoca un piccolo cambiamento della frequenza di risonanza del sistema. La “risonanza dell’ampiezza” si ha per la pulsazione:
.
Quindi la pulsazione di risonanza dell’ampiezza diminuisce all'aumentare dell'attrito. Il massimo dell'ampiezza si ha per una pulsazione forzante che è minore della pulsazione propria del sistema. Il picco di risonanza è sempre a sinistra della linea verticale corrispondente alla pulsazione propria del sistema.
In genere la differenza tra la frequenza della risonanza dell'ampiezza e quella proria è piccola perché γ ha valori numerici molto piccoli rispetto a m e k.
L’andamento dello sfasamento è come mostrato nella seguente figura.
