Domanda di teoria - Momento angolare in coordinate polari

Discutere il momento della quantità di moto in coordinate polari.

Prima di discutere il momento del vettore “quantità di moto”, ricordiamo che le coordinate polari di un punto nel piano sono basate sulla distanza r da un polo fisso, data dal modulo del raggio vettore che unisce il polo al punto P e sull’angolo tra la direzione del raggio vettore e l’asse di riferimento (ad esempio x in figura) 

Il legame delle coordinate cartesiane con le coordinate polari è dato da x=r cosθ, y=r sinθ.
Consideriamo ora una traiettoria e un punto su di essa P. A P, la velocità è tangenziale la traiettoria. Prendiamo ora il riferimento polare e disegniamo la direzione radiale (u_r) e la direzione a essa perpendicolare (u_θ). In genere, il vettore velocità ha una direzione diversa dalle due direzioni u_r u_θ.

Possiamo pensare di scomporre il vettore velocità in due componenti, come in figura seguente:

La componente della velocità diretta come direzioni u_r è detta “radiale”, quella diretta come u_θ è detta “trasversa” o trasversale. Per quanto riguarda i moduli delle due componenti si ha che v_r=dr/dt, che indica la variazione della distanza radiale nel tempo, e v_θ= r dθ/dt che indica una rivoluzione sulla circonferenza di raggio r a una velocità angolare data da dθ/dt.

Quindi:

Calcoliamo ora il momento di questa velocità rispetto al polo del riferimento polare:

 Il primo prodotto è nullo perché prodotto esterno di vettori paralleli. Vediamo quindi che rimane solo il termine che contiene la velocità trasversale. Moltiplichiamo per la massa per avere il momento della quantità di moto:

Il vettore momento della quantità di moto è perpendicolare al piano che contiene il raggio vettore e il vettore velocità. La direzione di questo vettore è data da quella del vettore unitari u_z. Notiamo che, utilizzando le componenti polari della velocità, nell’espressione finale compare solo la componente trasversale della velocità, che contiene una velocità angolare. Ciò giustifica il fatto che il momento della quantità di moto venga detto “momento angolare” Siccome raggio vettore e direzione trasversa sono perpendicolari, il modulo è semplice da calcolare.