Weblog on Physics: Orbite chiuse e aperte

Friday 29 April 2011

Orbite chiuse e aperte

In astronomia, un'orbita è la traiettoria di un corpo celeste, di un satellite artificiale o di un veicolo spaziale nello spazio, dove in genere è presente il campo gravitazionale generato da un altro corpo celeste.
In base all'energia posseduta dal corpo le orbite possono essere chiuse e periodiche oppure aperte e non periodiche.

Orbita ellittica: l'orbita è chiusa ed è un'ellisse se l'energia totale E del corpo è minore di zero (cioè se l'energia cinetica è minore dell'energia potenziale). Sono ellittiche le orbite dei pianeti del sistema solare e di tutti i loro satelliti. L'orbita circolare è un caso particolare di orbita ellittica.
Traiettoria iperbolica: l'orbita è aperta ed è un'iperbole se l'energia totale E del corpo è maggiore di zero (ovvero se l'energia cinetica è maggiore dell'energia potenziale). Sono iperboliche le orbite delle sonde spaziali inviate al di fuori del sistema solare.
Traiettoria parabolica: da un punto di vista teorico occorre inoltre aggiungere che se E=0, l'orbita risulterà una parabola; tale orbita rappresenta l'elemento di separazione tra la famiglia di orbite chiuse e di orbite aperte.

Velocità orbitale in un'orbita circolare terrestre
Consideriamo un corpo di massa m che si muove su un'orbita circolare ad una distanza r dal centro della Terra (ovvero ad una quota h = r - R_T, dove R_T è il raggio della Terra). Tale corpo è soggetto alla forza di gravità

$F_g= G \,\frac {{M}{m}}{r^2}$ ,

essendo G = 6,672 × 10⁻¹¹ N (m/kg)² la costante di gravitazione universale e M = 5,9 × 10²⁴ kg la massa della Terra. Il corpo su una traiettoria circolare di raggio r è soggetto alla forza centripeta pari a

$F_c= m \frac {v^2}{r}$

essendo v la velocità tangenziale.
Perché il corpo continui a percorrere l'orbita circolare, la forza di gravità deve uguagliare la forza centripeta, F_g = F_c:

$G \,\frac {{M}{m}}{r^2}=m \frac {v^2}{r}$ ;

Semplificando m ed r e risolvendo rispetto a v si ottiene:

$v= \sqrt \frac {{G}{M}}{r}$ .

Tenendo conto che la velocità tangenziale è legata al periodo orbitale dalla relazione

$v=2 \pi \frac {r}{T}$

è possibile esprimere T in funzione di r, ottenendo

$T^2=\frac {{4} {\pi^2}}{GM}\,r^3$ .

Questa non è altro che la terza legge di Keplero. La costante K che compare nella terza legge è quindi definita da

$K =\frac {{4} {\pi^2}}{GM}$

La terza legge di Keplero permette quindi di determinare l'altezza di un'orbita geostazionaria, cioè un'orbita equatoriale il cui periodo è pari al giorno siderale della Terra, T_rot = 23 h 56 min 4,09 s = 86.164,09 s:

$r_{geos} =\sqrt[3] {\frac {G M T_{rot}^2} {4 \pi^2}} = 42.168 \, km$

che corrisponde ad un'altezza di 35.790 km sopra l'equatore.
Un'orbita geostazionaria è un'orbita circolare ed equatoriale, situata ad una altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite che la percorre coincide con il periodo di rotazione della Terra. Tale orbita viene definita 'geostazionaria' in quanto per un osservatore a terra, il satellite appare fermo in cielo, sospeso sempre al di sopra del medesimo punto dell'equatore, muovendosi alla stessa velocità angolare della Terra.
Per pianeti diversi dalla Terra, tale orbita è anche detta isosincrona. Non per tutti i pianeti è possibile che vi sia un'orbita stazionaria, in quanto la loro velocità di rotazione può essere tale da richiedere che il satellite stia in un'orbita troppo vicina oppure troppo lontana per essere stabile.
Si definiscono orbite equatoriali quelle orbite il cui piano orbitale coincide con il piano equatoriale dell'attrattore. Nel caso di orbite equatoriali terrestri, il piano orbitale coinciderà con il piano definito dall'equatore terrestre.
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