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Tuesday, 1 May 2012

Il problema della massa variabile

Discutere come si può essere affrontato lo studio di un sistema a massa variabile.

Un esempio di sistema a massa variabile è il veicolo spaziale, ossia un razzo che espelle carburante nello spazio. Usiamo questo esempio per discutere l’approccio al problema.
Supponiamo che il veicolo spaziale espella carburante a una velocità −Vo rispetto al veicolo stesso, nella stessa direzione della velocità del veicolo. Assumiamo quindi il problema come unidimensionale per semplicità di calcolo. Tralasciamo quindi i segni di vettore.
La massa del veicolo e la massa del carburante espulso in funzione del tempo sono date da:
dove α è supposta una costante positiva.
Sia v la velocità del veicolo spaziale al tempo t rispetto allo spazio (riferimento inerziale “stelle fisse”). Rispetto allo spazio, il carburante si muove con una velocità pari a −Vo+v.
Il carburante espulso conferisce al veicolo spaziale un impulso.
Consideriamo la prima equazione cardinale dei sistemi che dice che la variazione della quantità di moto totale del sistema è nulla se non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema. Nel caso del razzo supponiamo nullo qualsiasi effetto. Scriviamo la prima equazione cardinale:


La massa del razzo è variabile e quindi devo derivare anche lei. Chiamiamo Mo  la massa iniziale del razzo. Essa sarà funzione del tempo come: M(t)=Mo−αt.
Inserisco nell’equazione del moto trovata prima:


Ovviamente non possiamo pensare che il razzo espella tutta la sua massa (ci sono la struttura stessa e il motore). Detto T=Mo/α, supponiamo che il tempo di espulsione sia al massimo il 90% di T.
Calcoliamo la velocità in funzione del tempo integrando l’accelerazione. Usiamo le tavole degli integrali per svolgere l’integrazione: