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Wednesday, 8 June 2011

Calore specifico dei gas perfetti

Il primo principio della termodinamica permette di capire perché, a parità di massa e di aumento di temperatura non è la stessa cosa scaldare un gas a volume costante a pressione costante. Infatti nel primo caso tutto il calore va ad incrementare l’energia interna del gas; nel secondo una parte del calore serve a far compiere al gas un lavoro esterno e perciò ne occorre di più.
Vogliamo mostrare che esiste una relazione tra l’energia interna e i calori specifici dei gas perfetti.
Sappiamo che il calore specifico di una sostanza è definito come:

Nel caso dei gas questa equazione è modificata riferendo il calore specifico non più all’unità di massa della sostanza ma a 1 mole di gas. Quindi:  


Quando un gas scambia calore, la quantità di calore scambiata è diversa a seconda del tipo di trasformazione termodinamica alla quale il gas è sottoposto; in particolare, risultano interessanti i due casi in cui lo scambio di calore avviene rispettivamente a pressione costante e a volume costante. Definiamo:


Per calcolare cp e cv per un gas perfetto  dobbiamo scrivere il primo principio della termodinamica che dice che  Q = DU+L, tenendo conto che l’energia interna di un gas monoatomico può essere scritta nel seguente modo: U=Ec=3/2n RT      e quindi:    ΔU = 3/2n RΔT

Uso questa espressione nel primo principio:  Q =3/2nR DT + L
Tenendo presente che quando V=cost si ha L = 0, si ricava: cv=3/2 R

Tale relazione mostra che il calore specifico a volume costante di un gas perfetto non solo è indipendente dalla temperatura, ma è lo stesso per tutti i gas. Ricordiamo che il valore riportato vale per i gas monoatomici (He, Ne…) per i quali l’energia interna è solo energia cinetica traslazionale. Tenendo conto della cosiddetta relazione di Mayer cp-cv = R  si ricava che cp = 5/2R. Infine otteniamo che:

DU = n cv DT

Questa è l’espressione generalmente usata per il calcolo della variazione dell’energia interna di un gas perfetto. Allora possiamo scrivere per un gas perfetto il primo principio della termodinamica nella  forma: Q = n cv DT + L
Se avessimo scelto un gas biatomico invece di uno monoatomico, essendo in questo caso:

avremmo ottenuto per il calore specifico a volume costante il valore cv = 5/2R  e cp = 7/2 R.