Vito Volterra

Vito Volterra and his commemoration for the centenary of Faraday's discovery of electromagnetic induction, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01353959/

Football americano

Esercizio Halliday

A football kicker can give the ball an initial speed of 25 m/s. What are the (a) least and (b) greatest elevation angles at which he can kick the ball to score a field goal from a point 50 m in front of goalposts whose horizontal bar is 3.44 m above the ground?
49. (a) 31°; (b) 63°

Nota bene, nel risolvere il problema, si tenga presente che, nel football americano, i punti si ottengono in due modi: facendo meta, oppure calciando la palla sopra la traversa, tra i pali della porta. Sopra.

Nel libro tradotto in Italiano diventa (purtroppo senza dire che football è):  Un calciatore è in grado di imprimere al pallone una velocità iniziale di 25 m/s. Entro quale intervallo di angolo d'alzo deve calciare se vuole segnare una rete dalla distanza di 50 m dalla porta, alta 3,4 m?

Intanto, la porta del nostro calcio è alta 2.44 m.  Ma, dato che noi pensiamo al nostro calcio,  immaginiamo che il pallone debba passare sotto la traversa. E quindi capita che le disequazioni non funzionino. Vedete, per esempio: 

http://www.youmath.it/forum/viva-la-fisica-universitaria/88146-esercizio-su-traiettoria-di-un-pallone-moto-del-proiettile.html

Prendiamo il suggerimento che troviamo in questo link.

Si scriva l'equazione del moto del pallone:

x = Vo cosα t
y = - (1/2) g t² + Vo senα t

Si imponga per x = d sia y = h (al limite). Dalla 1a si ha t = d/Vo cosα  che sostituita  nella 2a

h = - (1/2) g d²/Vo²cos²α + d tanα
-h =  (1/2) g d²/Vo²cos²α - d tanα

essendo 1/cos²α = 1 + tan²α

Sostituendo, si ottiene:

(1/2) g (d/Vo)² •(1+tan²α) - d tanα + h = 0

Ponendo T=tanα

(1/2) g (d/Vo)² •(1+T²) - d T + h = 0

(1/2) 10 (2)² •(1+T²) - 50 T  + 23.44 = 0

20 + 20 T² - 50 T  + 23.44 = 0

20 T² - 50 T  + 23.44 = 0 da cui T= 75/40 e T=25/40 che danno valori vicini a quelli dati. Ho approssimato g a 10 m/s².

Dalla figura vedete chiaramente che se l'angolo è più piccolo di 31° o più grande di 63°, la palla passa sotto la traversa oppure non arriva alla porta. 

Asta che ruota

Un’asta di lunghezza d = 0.5 m è incernierata ad un estremo al piano orizzontale. Inizialmente è sostenuta all’altro estremo in modo da fare un angolo θ pari a 30° con l’orizzontale. L’asta viene abbandonata e lasciata cadere, senza velocità iniziale, sul piano. Calcolare la coordinata x_cm del centro di massa quando l’asta è orizzontale e la velocità v_cm nello stesso istante.

Asta che cade su piano senza attrito

Un’asta di lunghezza d = 0.5 m è appoggiata con un estremo su un piano orizzontale liscio e sostenuta all’altro estremo in modo da fare un angolo θ pari a 30° con l’orizzontale. L’asta viene abbandonata e lasciata cadere, senza velocità iniziale, sul piano. Calcolare la coordinata x_cm del centro di massa quando l’asta è orizzontale e la velocità v_cm nello stesso istante.

 

Conservazione energia

Un punto materiale parte con velocità nulla dalla posizione A e scende lungo un piano inclinato di \theta=15°, privo di attrito. Nella posizione B il piano è raccordato a una guida circolare di centro O e raggio R=1 m, anch'essa priva di attrito. Il segmento AB è tangente alla guida. Si vuole che il punto si stacchi dalla guida in corrispondenza dell'angolo \alpha=60° (punto C sulla guida).

Si calcoli di quanto la quota di A deve superare la quota di B.

Spostamenti nel rotolamento

Disco e blocco su piano inclinato

Molla, masse e piano inclinato

Sarebbe bene scrivere anche le unità di misura, ma si sono usate misura MKS

Dischi, massa e molla

I due dischi in figura, di massa M1 ed M2 e raggio R1 ed R2, sono vincolati a ruotare attorno ad assi passanti per i loro centri. I dischi  ruotano senza strisciare su un dischetto di massa trascurabile, anche esso ruotante attorno ad un asse centrale. Una massa M è appesa a un filo inestensibile, avvolto al disco di destra. Il disco a sinistra è collegato con una molla di costante elastica K e lunghezza a riposo nulla ad un punto fisso. Il sistema è inizialmente fermo con la molla scarica (allungamento nullo). Il sistema viene lasciato libero di muoversi. Quale è il massimo abbassamento della massa M?

Energia e corpo rigido

Un disco di massa M e raggio R è posto in un piano verticale. Esso è vincolato al suo centro a un asse orizzontale attorno al quale può ruotare senza attrito. Al suo bordo è fissata una massa m. Inizialmente il disco è tenuto fermo. Viene lasciato libero di ruotare: che velocità angolare avrà quando la massa m passa per il punto più basso?

Torque

Adapted from:

http://courses.ncssm.edu/apb90/resources/guides/G11-1.net_torque.htm

A disc rotates about an axis O, which is passing through its center and perpendicular to the disc. It rotates by the application of two forces. A force of magnitude 11 N is exerted at a distance of 0.34 m from the axis and at an angle of 58° from a radial line extending from the axis through the point of application Q of the force. A second force of magnitude 15 N is exerted at a distance of 0.26 m from the axis and at an angle of 119° from a radial line extending from the axis through the point of application P of the force. Determine the net torque on the disc about its center and which way the net torque accelerates the disc.

Calcoliamo i momenti determinando il braccio delle forze, che in figura vedete dato come gli r perpendicolari.

Il momento risultante delle due forze (net torque) è, in modulo, di 0.24 N.m . Il momento di F1 (F2) è negativo (positivo), perché tende a produrre una rotazione in senso orario (in senso antiorario). Notiamo che i simboli τ_1 e τ_2 sono i moduli dei momenti delle forze. Il risultato positivo indica che l'accelerazione angolare è in senso antiorario.  L'unità di misura è  N.m, ma non chiamiamoli joules. Il joule reppresenta energia mentre ora non abbiamo energia ma momento della forza. 

Torque

(immagine da http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/cmms.html)

In Inglese, il momento della forze è il "torque". Questo è un semplice esercizio sull'equilibrio.

Per aver l'equilibrio dell'asta, che è posta su un fulcro in un punto diverso dal centro di massa, uso una massa appesa all'asta ad una distanza opportuna. 

Fasi Lunari in Inglese

Conservazione energia

Una massa scivola dalla quota 2R, partendo da ferma, su un piano inclinato liscio. Il piano inclinato si raccorda con una guida circolare liscia posta in un piano verticale. Determinare dove la massa si stacca dalla pista.

Conservazione dell'energia

nUn corpo puntiforme di massa m scivola lungo una pista liscia che termina in una circonferenza di raggio R, partendo da fermo da una altezza h rispetto il fondo della pista (vedi figura). Determinare il valor minimo di h perché il corpo possa fare il giro completo. Trovato questo valore, determinate la forza esercitata dalla pista sul corpo quando questo si trova nella posizione individuata dall’angolo q pari a 30°.

Due problemi sull' Impulso

Un blocco di massa m si muove su una pista rettilinea orizzontale senza attrito con velocità V. Ad un certo punto, attraversa un tratto molto breve che presenta attrito. Poi prosegue di nuovo sulla pista liscia con velocità V/2. Quale è l’impulso della pista sul blocco?

Una macchina di massa m si muove su una strada rettilinea con velocità V. Ad un certo punto, il guidato frena per un tratto molto breve. Poi prosegue di nuovo sulla strada con velocità V/2. Quale è l’impulso della strada sulla macchina?

Problema urto

In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. La velocità iniziale ha modulo v_i=15.0 m/s e quella finale v_f= 2.6 m/s. Se la durata dell’urto è di 0.15 s, determinate l’impulso dovuto all’urto e la forza media esercitata sull’auto.