n.34 - statica e altro

Solo la prima parte è stata presa come esercizio per un esame.

Sun reflection

Courtesy: NASA Apollo 8

View of Earth as photographed by the Apollo 8 astronauts on their return trip from the moon. The terminator crosses Australia. India is visible. The sun reflection is within the Indian Ocean.

Renaissance of Rome

In 1586 Domenico Fontana erected the obelisk in the Square of St. Peter's. Wiki: "This feat of engineering took the concerted effort of 900 men, 75 horses and countless pulleys and meters of rope. He gives a detailed account of it in Della transportatione dell'obelisco Vaticano e delle fabriche di Sisto V (Rome, 1590) [1] [2]. The astronomer Ignazio Danti is known to have assisted Fontana in this work. Fontana also used his knowledge of statics, which aroused universal astonishment at the time, in the erection of three other ancient obelisks on the Piazza del Popolo, Piazza di S. Maria Maggiore, and Piazza di S. Giovanni in Laterano."

Nanocanyons in Multilayer Laue Lenses

Nanocanyons in Multilayer Laue Lenses

Brookhaven National Laboratory:  A scanning electron microscope captured this from the bottom of a trench carved by reactive ion etching. 

Dancing Men in Renaissance Painting May Be Native Americans

Dancing Men in Renaissance Painting May Be Native Americans

Friday, May 03, 2013
VATICAN CITY—While restoring a fresco painted in 1494 by Pinturicchio on the walls of the Vatican’s Borgia Apartments, Maria Pustka found small images of dancing men that may be the first Western depictions of Native Americans. “The Borgia Pope was interested in the New World, as were the great chancelleries of Europe. It is hard to believe that the papal court, especially under a Spanish pope, would have remained in the dark about what Columbus encountered,” wrote Antonio Paolucci, director of the Vatican Museums. That pope would eventually arbitrate the division of New World lands between Spain and Portugal.

The 'irreproducibility' problem

The 'irreproducibility'  AAAS
Interessante discussione sull'irriproducibilità di alcuni esperimenti.

A Year Without a Summer

The 'Year Without a Summer' AAAS
"In many parts of the country winter refuses to release its icy grip, and records are being broken for spring’s late arrival. Although we know that spring and summer will come eventually, we are still a far cry from rivaling the “Year Without a Summer.”  That year was 1816. It was near the end of the Little Ice Age, a period that began around 1350 AD. It was also in the middle of what became known as the Dalton Minimum, an unusual period of low solar activity named after English meteorologist John Dalton that lasted from 1790 to 1830...."

Teorema di Bernoulli

Primo Teorema di Koenig

Il I Teorema di Koenig riguarda il momento angolare di un sistema

Consideriamo un sistema di particelle in un riferimento inerziale. Scegliamo in questo riferimento il punto fisso O. Prendiamo i raggi vettore che vanno da O a ciascuna particella e il raggio vettore che individua la posizione del centro di massa CM. Indicando con i la i-esima particella, definiamo r'i e v'i come:

Il momento angolare del sistema, valutato rispetto al polo fisso, lo possiamo vedere come la somma di due termini: uno è il momento angolare L' con i vettori posizione r' e vettori velocità v' valutati rispetto al CM e l'altro è il momento della quantità di moto del sistema, momento valutato rispetto a O.

Se ho un sistema costituito da  un copro rigido, una parte del momento angolare viene dal moto del centro di massa, come se tutta la massa fosse concentrata in esso (ad esempio la rivoluzione del centro di massa della terra). L'altra parte viene dal moto relativo al centro di massa delle particelle (ad esempio la rotazione della terra su se stessa). 

II Equazione cardinale sistemi

Seconda equazione cardinale dei sistemi col calcolo rispetto a polo fisso.

Questa equazione riguarda l'evoluzione temporale del momento angolare di un sistema.
Si definisce come momento angolare di una particella di massa m e di velocità v il vettore:

definito tramite il prodotto vettoriale o prodotto esterno tra il vettore posizione r ed il vettore P=mv quantità di moto. Nella definizione del momento angolare abbiamo introdotto il vettore posizione: questo vettore è definito rispetto ad un punto scelto come polo O. Il polo lo consideriamo come un punto fisso nel riferimento inerziale scelto. Se si cambia il punto O cambia anche il vettore L. Infatti, se si cambio il polo in O’, la relazione che lega il nuovo momento angolare L’ calcolato rispetto al punto O' ed il momento angolare L rispetto ad O è la seguente:

Il momento di una forza è definito come:

che dipende dalla scelta del punto O come per il momento angolare. Nel calcolo, il polo deve essere lo stesso per il momento angolare e per il momento della forza. 

Calcoliamo la derivata rispetto al tempo del vettore L. Per la derivazione applichiamo la stessa regola già vista per la derivazione dei prodotti di funzioni:

che è la relazione che rappresenta il teorema del momento angolare per un punto materiale: la derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza. Il termine vxmv è nullo essendo il prodotto esterno di due vettori paralleli. Il momento della forza può essere nullo se la forza è nulla oppure se i vettori r ed F sono paralleli (come ad esempio nel caso delle forze centrali, con il centro preso come polo):

Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo (e cioè si conserva) se il momento delle forze è nullo.

Supponiamo di avere adesso un insieme di particelle di massa m_i e di vettori velocita’ v_i. La posizione di ciascuna particella rispetto al polo O sia il vettore r_i. Il momento angolare totale sarà:

L’indice i varia da 1 a N, numero totale delle particelle.

Enunciamo il teorema del momento angolare per un sistema di particelle. Se il punto O rispetto a cui calcoliamo il vettore posizione è fisso nel riferimento inerziale l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinato dal momento delle forze esterne rispetto ad O, mentre le forze interne non portano alcun contributo.

Dato il momento totale delle forze esterne:

Quando si conserva il momento angolare? Quando il vettore t ^ext è nullo e questo capita quando il momento totale delle forze è nullo oppure quando non vi sono forze esterne che agiscono sul sistema stesso e cioè è il sistema è isolato.

Dimostriamo il teorema del momento angolare per un sistema di due particelle. Queste due particelle possono essere una coppia appartenente ad un sistema: la dimostrazione fatta per la coppia ovviamente può essere ripetuta per ciascuna coppia del sistema, e quindi estendere la dimostrazione a tutto il sistema.

Calcoliamo il momento totale delle forze che agiscono sulla particella i e sulla particella j:

dove i vettori F sono le forze esterne e i vettori f sono le forze interne.

Siccome le forze interne hanno la stessa retta d'azione e il modulo uguale ma verso opposto:

Il prodotto esterno è nullo perché fatto tra due vettori paralleli. Rimangono solo i momenti delle forze esterne al sistema.