Un trucchetto per i calcoli

C'è un semplice trucchetto per fare i calcoli dei problemi di fisica in modo rapido e senza commettere errori. Per esempio:

Un cilindro con momento d'inerzia I' può ruotare intorno al suo asse. Una corda è avvolta su di esso e passa nella gola di una carrucola. All'estremità della corda è attaccata una massa m. Con quale accelerazione scende la massa m?

Dopo aver fatto i diagrammi di corpo libero, scriviamo le equazioni per m,I ed I'. Mettiamo a sinistra i termini tipo "ma","I alpha". alpha è l'acc. angolare.

ma = mg-T

I alpha= Tr-T'r

I' alpha'=T'R

alpha=a/r; alpha'=a/R

Riscrivo il sistema:

ma = mg - T

I a/r = Tr-T'r

I' a/R= T'R

ma = mg - T

(I/r^2) a = T - T'

(I'/R^2) a = T'

Invece di ricavare e sostituire T' e T,  sommo le equazioni:

a [m+I/r^2+I'/R^2]= mg - T + T - T' + T' = mg

a= mg/[m+I/r^2+I'/R^2]

In questa maniera, l'accelerazione è trovata rapidamente senza ricorrere alle sostituzioni. 

Svolgere esercizio

Fate l'esercizio al link
http://www.edutecnica.it/meccanica/vincolix/29.htm

Sistemi tirante - puntone

Ho trovato un sito con diversi problemi interessanti.
Alcuni riguardano la composizione tirante /fune) e puntone (asta).
Si veda il link
http://www.edutecnica.it/meccanica/decompox/decompox.htm

Un problema d'esame

Un disco che pesa 50 N è appoggiato tra due piani inclinati lisci come  in figura. Trovate le reazioni vincolari.

L'equilibrio delle forze, risultante nulla, si scrive per le due componenti. Dato che P è noto, si ricavano N ed R.

Problema d'esame

Vi segnalo il seguente link, per la chiarezza con cui sono spiegate le modalità d'esame, i problemi con i relativi punti da risolvere (e i punteggi), e, infine, la soluzione degli esercizi.
http://elearn.ing.unipi.it/mod/folder/view.php?id=324

Sono temi d'esame di Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)

Un blocchetto di massa m_1= = 1 kg puòscendere all’interno di un tubo liscio piegato ad L di massa m_2 = 5 m_1 appoggiato su di un piano orizzontale lungo il quale si può muovere senza attrito. Sullo stesso piano, dal lato in cui il cui blocchetto fuoriesce dal tubo, è fissata una molla di costante elastica k = 0.12 kN/m e lunghezza a riposo L_o.  Inizialmente tutte le masse sono in quiete e la massa m_ 1 viene lasciata cadere nel tubo da un’altezza h = 80 cm.
Quesito 1.1 Trovare la velocit`a con cui il blocchetto m_1 fuoriesce dal tubo.
Quesito 1.2 Il blocchetto comprime la molla. Determinare la massima compressione della molla e quanto tempo intercorre tra quando il blocchetto tocca la molla a quando raggiunge la massima compressione.
Quesito 1.3 Successivamente il blocchetto, spinto dalla molla si muover`a nella stessa direzione del tubo. Dire se riuscirà a raggiungere il tubo ed in caso affermativo determinare che altezza  aggiunger`a all’interno del tratto verticale del tubo.

Problemi d'esame

Vi segnalo il seguente link, per la chiarezza con cui sono spiegate le modalità d'esame, i problemi con i relativi punti da risolvere (e i punteggi), e, infine, la soluzione degli esercizi.
http://elearn.ing.unipi.it/mod/folder/view.php?id=324

Sono temi d'esame di Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)

Problema 2, A.A. 2011/12 Appello del 11/01/2012.

Problema 2:
Un sistema per misurare la velocità angolare è costituito da un’asta verticale a cui sono sospese due masse identiche m = 0.25 kg attraverso due astine rigide prive di massa di lunghezza  l = 20 cm. Misurando l’angolo θ che le due astine formano rispetto alla verticale si può determinare la velocità angolare di rotazione dell’asta.
Quesito 2.1 Determinare la relazione tra la velocità angolare ω dell’asta e l’angolo formato
dalle astine con la verticale trascurando tutte le forze di attrito. Si determini numericamente la minima velocità angolare ω per cui le astine si sollevano.
Quesito 2.2 Si consideri adesso che le due masse m siano soggette ad una forza di attrito viscoso proporzionale alla loro velocità F_v = −βv con β = 3.0 kg/s. Supponendo che l’asta venga mantenuta in rotazione da un motore con una velocità angolare doppia rispetto alla minima velocit`a calcolata al punto precedente (ω1 = 2ω), calcolare la potenza fornita dal motore per vincere l’attrito viscoso.
Quesito 2.3 Improvvisamente il motore si spegne ed il sistema comincia a rallentare a causa dell’attrito viscoso. Calcolare la componente verticale L_z del momento angolare del sistema rispetto al punto di sospensione delle sbarrette all’istante in cui il motore si spegne. Utilizzando la seconda equazione cardinale, calcolare dopo quanto tempo L_z si è ridotto del 10%.

Problemi d'esame

Vi segnalo il seguente link, per la chiarezza con cui sono spiegate le modalità d'esame, i problemi con i relativi punti da risolvere (e i punteggi), e, infine, la soluzione degli esercizi.
http://elearn.ing.unipi.it/mod/folder/view.php?id=324

Sono temi d'esame di Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)

Problema 2, A.A. 2011/12 Appello del 31/01/2012.


Due masse puntiformi m1 = 5.0 kg ed m2 = m1/2 sono collegate con una sbarretta sottile priva di massa di lunghezza L = 25 cm. Il sistema viene inizialmente tenuto con la sbarretta orizzontale sopra un piolo che si trova sulla verticale del centro geometrico della sbarretta, ad un altezza h = L/2 . Il sistema viene lasciato cadere da fermo, sotto l'azione della gravità. Colpendo il piolo la sbarretta si aggancia al piolo ed inizia a ruotare intorno ad esso senza attrito.
Quesito 2.1 Calcolare la velocità angolare omega 0 della sbarretta subito dopo che si è agganciata al piolo.
Quesito 2.2 Calcolare la velocitàa angolare omega 1 della sbarretta quando la massa m1 si trova sulla verticale del piolo e sotto di esso.
Quesito 2.3 Determinare il modulo, direzione e verso della forza esercitata dal piolo sulla sbarretta quando essa si trova nella posizione del punto 2.

Vito Volterra

Vito Volterra and his commemoration for the centenary of Faraday's discovery of electromagnetic induction, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01353959/

Football americano

Esercizio Halliday

A football kicker can give the ball an initial speed of 25 m/s. What are the (a) least and (b) greatest elevation angles at which he can kick the ball to score a field goal from a point 50 m in front of goalposts whose horizontal bar is 3.44 m above the ground?
49. (a) 31°; (b) 63°

Nota bene, nel risolvere il problema, si tenga presente che, nel football americano, i punti si ottengono in due modi: facendo meta, oppure calciando la palla sopra la traversa, tra i pali della porta. Sopra.

Nel libro tradotto in Italiano diventa (purtroppo senza dire che football è):  Un calciatore è in grado di imprimere al pallone una velocità iniziale di 25 m/s. Entro quale intervallo di angolo d'alzo deve calciare se vuole segnare una rete dalla distanza di 50 m dalla porta, alta 3,4 m?

Intanto, la porta del nostro calcio è alta 2.44 m.  Ma, dato che noi pensiamo al nostro calcio,  immaginiamo che il pallone debba passare sotto la traversa. E quindi capita che le disequazioni non funzionino. Vedete, per esempio: 

http://www.youmath.it/forum/viva-la-fisica-universitaria/88146-esercizio-su-traiettoria-di-un-pallone-moto-del-proiettile.html

Prendiamo il suggerimento che troviamo in questo link.

Si scriva l'equazione del moto del pallone:

x = Vo cosα t
y = - (1/2) g t² + Vo senα t

Si imponga per x = d sia y = h (al limite). Dalla 1a si ha t = d/Vo cosα  che sostituita  nella 2a

h = - (1/2) g d²/Vo²cos²α + d tanα
-h =  (1/2) g d²/Vo²cos²α - d tanα

essendo 1/cos²α = 1 + tan²α

Sostituendo, si ottiene:

(1/2) g (d/Vo)² •(1+tan²α) - d tanα + h = 0

Ponendo T=tanα

(1/2) g (d/Vo)² •(1+T²) - d T + h = 0

(1/2) 10 (2)² •(1+T²) - 50 T  + 23.44 = 0

20 + 20 T² - 50 T  + 23.44 = 0

20 T² - 50 T  + 23.44 = 0 da cui T= 75/40 e T=25/40 che danno valori vicini a quelli dati. Ho approssimato g a 10 m/s².

Dalla figura vedete chiaramente che se l'angolo è più piccolo di 31° o più grande di 63°, la palla passa sotto la traversa oppure non arriva alla porta. 

Asta che ruota

Un’asta di lunghezza d = 0.5 m è incernierata ad un estremo al piano orizzontale. Inizialmente è sostenuta all’altro estremo in modo da fare un angolo θ pari a 30° con l’orizzontale. L’asta viene abbandonata e lasciata cadere, senza velocità iniziale, sul piano. Calcolare la coordinata x_cm del centro di massa quando l’asta è orizzontale e la velocità v_cm nello stesso istante.