Sul LAVORO in termodinamica

Lavoro in termodinamica 

In termodinamica, il lavoro viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume (lavoro di volume) e un contributo indipendente dalla variazione di volume (lavoro isocoro).

Lavoro di volume

In termodinamica un gas esercita una pressione P interna sulle pareti del recipiente in cui è contenuto. Se una di queste pareti (di area A) è mobile e si sposta di una quantità infinitesima dl sotto l'azione di questa pressione, allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da:

.

dove dV = A dl è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio termodinamico è possibile conoscere il valore della pressione P interna al contenitore. La notazione  è usata per indicare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, ed invece dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema. Se il sistema termodinamico subisce una trasformazione dove non si consoce p, quindi in una tarsformazione irreversibile, il lavoro  lo possiamo determinare sfruttando il primo principio della termodinamcia, conoscendo calo scambiato e variazione d'energia interna. Possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema comeì:

,

lavoro fatto contro la pressione esterna , se ammettiamo di consocere la pressione esterna.

La termodinamica non è fatta solo di sistemi P,V,T (fluidi) e quindi ci può essere un lavoro "isocoro"

Lavoro isocoro 

Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione di volume, ad esempio: il lavoro elettrico. 

Lavoro elettrico: In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale E per far circolare una corrente elettrica I per un tempo infinitesimo dt è data da , il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente. Il valore del lavoro elettrico scambiato tra il tempo t₀ e il tempo t₁ si può ottenere integrando l'equazione precedente, dalla quale si ottiene:

nel caso in cui la differenza di potenziale E rimanga costante durante l'intervallo di tempo considerato, si può scrivere:

essendo:

• L il lavoro elettrico (in joule);
• E la differenza di potenziale elettrico (in volt);
• I l'intensità di corrente elettrica in (in ampere);
• t il tempo (in secondi);
• Q_el la quantità di carica elettrica circolata durante l'intervallo di tempo considerato (in coulomb).

The spinning top

Rotate vs revolve

Rotate versus revolve, from http://www.worldwidewords.org/nl/uifj.htm
by MICHAEL QUINION

Q From Brian Miller, Australia: A loosely organised group of eccentric friends and wine lovers meets each week. The question arose, does a lazy Susan revolve or rotate? What about the plates on it?

A That’s an interesting question, which lacks a simple answer. If anybody’s not sure about a lazy Susan, by the way, it’s a device on a table which turns to give easy access to plates and condiments.

... The two words are used so interchangeably in the sense of spinning round that for most purposes they’re synonyms and they’re treated as such in thesauruses. To take an example, does a wheel rotate or revolve? Most people would say it can do either.

If you’re arguing from etymology (always risky), it can only rotate, since that term is from the Latin verb rotare, to turn in a circle, whose root is rota, a wheel. But you might argue that it revolves, because that verb is from the Latin volvere, to roll (in this case, the re- prefix implies repetition of the action) and a wheeled vehicle certainly does roll along.

Strictly speaking, there is a difference, which is most noticeable in the terminology of astronomers. For them, the earth rotates every 24 hours but takes a year to revolve around the sun. The rule about which verb to use is based on the position of the axis of rotation. If the body turns on an axis within itself it rotates but if the axis is outside it revolves. Following this definition, a wheel can only rotate (hooray for etymology).

The strict answer to the question, therefore, is that the lazy Susan rotates. However, because the plates on it orbit or circle around an axis outside themselves, they revolve. Do not insist on this careful distinction during the later stages of a dinner party or the lazy Susan may become a spinning projectile aimed at you.

As I say, the rule is rarely observed outside science and the two words have been hopelessly muddled for centuries. A revolving door actually rotates; a rotating shaft makes revolutions. You might argue that a revolver ought to be a rotator but it depends whether you are thinking of the cartridges or the cylinder that holds them.

La trottola

Da "Semplicemente fisica. Fraintendimenti, bugie, buchi neri nell'apprendimento scolastico della fisica", di  Giovanni Tonzig, Maggioli Editore, 2010 - 227 pagine

Space Oddity

Assembly line

"The assembly line was invented 100 years ago. It’s time to invent the disassembly line", Steven Cherry is telling at

http://spectrum.ieee.org/podcast/at-work/innovation/the-future-of-the-assembly-line

in a conversation with David Nye,  professor of American history at the University of Southern Denmark.

Deep Space Beacon

Pulsed gamma rays from the Vela pulsar  from photons detected by Fermi's Large Area Telescope. The Vela pulsar is the brightest persistent source of gamma rays in the sky. The bluer colour in the latter part of the pulse indicates the presence of gamma rays with energies exceeding a billion electron volts (1 GeV). For comparison, visible light has energies between two and three electron volts. Red indicates gamma rays with energies less than 300 million electron volts (MeV); green, gamma rays between 300 MeV and 1 GeV; and blue shows gamma rays greater than 1 GeV. The image frame is 30 degrees across. The background, which shows diffuse gamma-ray emission from the Milky Way, is about 15 times brighter here than it actually is.
Source Goddard Space Flight Center
Author Roger Romani (Stanford University) (Lead), Lucas Guillemot (CENBG), Francis Reddy (SPSYS)

n.23 - Joe e Moe

Un cuneo di massa M è in quiete su una superficie orizzontale priva di attrito. Un blocco di massa m è posto sul cuneo. Non c'è attrito tra il blocco e il cuneo. Il sistema è lasciato libero da fermo. Calcolate: a) l'accelerazione del cuneo, 2) le componenti orizzontale e verticale dell'accelerazione del blocco, e verificate il limite M che tende a infinito.

A wedge with mass M rests on a frictionless horizontal tabletop. A block with mass m is placed on the wedge. There is no friction between the block and the wedge. The system is released from rest. Calculate 1) the acceleration of the wedge, 2) the horizontal and vertical components of the acceleration of the block, check the limit when M  --- > infinite. 

Risolviamo il problema con Joe e Moe, ossia col moto relativo.

Consideriamo due osservatori: Joe è fermo sul piano orizzontale e Moe è fermo sul cuneo.

Joe vede che il blocco m si muove sul cuneo  scendendo verso destra  e che il cuneo si muove verso sinistra  con una accelerazione A. Moe, che è sul cuneo, non vede il cuneo muoversi, ma vede la massa m  che si muove soggetta al peso, alla normale N del cuneo e alla forza  fittizia mA verso destra.

Scriviamo l’equazione per l’accelerazione  del blocco m, PARALLELA al piano inclinato,  che fornisce  l’accelerazione lungo il piano inclinato  vista da Moe, e poi scriviamo l’equazione  d’equilibrio lungo la PERPENDICOLARE al piano inclinato:

GAMMA RAYS and Gamma-Ray Burst

Gamma rays have the smallest wavelengths and the most energy of any wave in the electromagnetic spectrum. ... http://missionscience.nasa.gov/ems/12_gammarays.html
Gamma-ray bursts (GRBs) are flashes of gamma rays associated with extremely energetic explosions that have been observed in distant galaxies. They are the brightest electromagnetic events known to occur in the universe.[1] Bursts can last from ten milliseconds to several minutes. The initial burst is usually followed by a longer-lived "afterglow" emitted at longer wavelengths (X-ray, ultraviolet, optical, infrared, microwave and radio).[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma-ray_burst...
On April 27, 2013, NASA's Fermi and Swift satellites detected a strong signal from the brightest gamma-ray burst in decades. Because this was relatively close, it was thousands of times brighter than the typical gamma-ray bursts that are seen by Swift every few days. Scientists are now scrambling to learn more....
http://edition.cnn.com/2013/05/06/opinion/urry-gamma-ray-burst/index.html?sr=sharebar_twitter

Cilindro e oscillazioni

Baricole

Da "Storia e leggenda del vetro" di Paolo Mazzoldi
http://www.edscuola.it/archivio/lre/storia_del_vetro.pdf

rendimento

n.19 - cubetto ghiaccio

Un cubetto di ghiaccio scende lungo uno scivolo, posto in un piano verticale, privo di attrito.

Esce dallo scivolo con un angolo di 40°. Dopo l'urto con la parete, la componente orizzontale della velicità si riduce della metà. Conoscendo l'altezza dello scivolo h e la massa (10g) del cubetto, trovate l'impulso del cubetto sulla parete.

Il problema non è certo difficile, ma si deve far attenzione al fatto che la quantità di moto è un vettore, e di ciò si deve tener conto nel calcolo dell'impuslo, che è pari alla variazione della quantità di moto.

Rendimento

n.16 - Esercizio elettrostatica

n.32 - Asta

n.34 - statica e altro

Solo la prima parte è stata presa come esercizio per un esame.

Sun reflection

Courtesy: NASA Apollo 8

View of Earth as photographed by the Apollo 8 astronauts on their return trip from the moon. The terminator crosses Australia. India is visible. The sun reflection is within the Indian Ocean.

Renaissance of Rome

In 1586 Domenico Fontana erected the obelisk in the Square of St. Peter's. Wiki: "This feat of engineering took the concerted effort of 900 men, 75 horses and countless pulleys and meters of rope. He gives a detailed account of it in Della transportatione dell'obelisco Vaticano e delle fabriche di Sisto V (Rome, 1590) [1] [2]. The astronomer Ignazio Danti is known to have assisted Fontana in this work. Fontana also used his knowledge of statics, which aroused universal astonishment at the time, in the erection of three other ancient obelisks on the Piazza del Popolo, Piazza di S. Maria Maggiore, and Piazza di S. Giovanni in Laterano."

Nanocanyons in Multilayer Laue Lenses

Nanocanyons in Multilayer Laue Lenses

Brookhaven National Laboratory:  A scanning electron microscope captured this from the bottom of a trench carved by reactive ion etching. 

Dancing Men in Renaissance Painting May Be Native Americans

Dancing Men in Renaissance Painting May Be Native Americans

Friday, May 03, 2013
VATICAN CITY—While restoring a fresco painted in 1494 by Pinturicchio on the walls of the Vatican’s Borgia Apartments, Maria Pustka found small images of dancing men that may be the first Western depictions of Native Americans. “The Borgia Pope was interested in the New World, as were the great chancelleries of Europe. It is hard to believe that the papal court, especially under a Spanish pope, would have remained in the dark about what Columbus encountered,” wrote Antonio Paolucci, director of the Vatican Museums. That pope would eventually arbitrate the division of New World lands between Spain and Portugal.

The 'irreproducibility' problem

The 'irreproducibility'  AAAS
Interessante discussione sull'irriproducibilità di alcuni esperimenti.

A Year Without a Summer

The 'Year Without a Summer' AAAS
"In many parts of the country winter refuses to release its icy grip, and records are being broken for spring’s late arrival. Although we know that spring and summer will come eventually, we are still a far cry from rivaling the “Year Without a Summer.”  That year was 1816. It was near the end of the Little Ice Age, a period that began around 1350 AD. It was also in the middle of what became known as the Dalton Minimum, an unusual period of low solar activity named after English meteorologist John Dalton that lasted from 1790 to 1830...."

Teorema di Bernoulli

Primo Teorema di Koenig

Il I Teorema di Koenig riguarda il momento angolare di un sistema

Consideriamo un sistema di particelle in un riferimento inerziale. Scegliamo in questo riferimento il punto fisso O. Prendiamo i raggi vettore che vanno da O a ciascuna particella e il raggio vettore che individua la posizione del centro di massa CM. Indicando con i la i-esima particella, definiamo r'i e v'i come:

Il momento angolare del sistema, valutato rispetto al polo fisso, lo possiamo vedere come la somma di due termini: uno è il momento angolare L' con i vettori posizione r' e vettori velocità v' valutati rispetto al CM e l'altro è il momento della quantità di moto del sistema, momento valutato rispetto a O.

Se ho un sistema costituito da  un copro rigido, una parte del momento angolare viene dal moto del centro di massa, come se tutta la massa fosse concentrata in esso (ad esempio la rivoluzione del centro di massa della terra). L'altra parte viene dal moto relativo al centro di massa delle particelle (ad esempio la rotazione della terra su se stessa). 

II Equazione cardinale sistemi

Seconda equazione cardinale dei sistemi col calcolo rispetto a polo fisso.

Questa equazione riguarda l'evoluzione temporale del momento angolare di un sistema.
Si definisce come momento angolare di una particella di massa m e di velocità v il vettore:

definito tramite il prodotto vettoriale o prodotto esterno tra il vettore posizione r ed il vettore P=mv quantità di moto. Nella definizione del momento angolare abbiamo introdotto il vettore posizione: questo vettore è definito rispetto ad un punto scelto come polo O. Il polo lo consideriamo come un punto fisso nel riferimento inerziale scelto. Se si cambia il punto O cambia anche il vettore L. Infatti, se si cambio il polo in O’, la relazione che lega il nuovo momento angolare L’ calcolato rispetto al punto O' ed il momento angolare L rispetto ad O è la seguente:

Il momento di una forza è definito come:

che dipende dalla scelta del punto O come per il momento angolare. Nel calcolo, il polo deve essere lo stesso per il momento angolare e per il momento della forza. 

Calcoliamo la derivata rispetto al tempo del vettore L. Per la derivazione applichiamo la stessa regola già vista per la derivazione dei prodotti di funzioni:

che è la relazione che rappresenta il teorema del momento angolare per un punto materiale: la derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza. Il termine vxmv è nullo essendo il prodotto esterno di due vettori paralleli. Il momento della forza può essere nullo se la forza è nulla oppure se i vettori r ed F sono paralleli (come ad esempio nel caso delle forze centrali, con il centro preso come polo):

Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo (e cioè si conserva) se il momento delle forze è nullo.

Supponiamo di avere adesso un insieme di particelle di massa m_i e di vettori velocita’ v_i. La posizione di ciascuna particella rispetto al polo O sia il vettore r_i. Il momento angolare totale sarà:

L’indice i varia da 1 a N, numero totale delle particelle.

Enunciamo il teorema del momento angolare per un sistema di particelle. Se il punto O rispetto a cui calcoliamo il vettore posizione è fisso nel riferimento inerziale l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinato dal momento delle forze esterne rispetto ad O, mentre le forze interne non portano alcun contributo.

Dato il momento totale delle forze esterne:

Quando si conserva il momento angolare? Quando il vettore t ^ext è nullo e questo capita quando il momento totale delle forze è nullo oppure quando non vi sono forze esterne che agiscono sul sistema stesso e cioè è il sistema è isolato.

Dimostriamo il teorema del momento angolare per un sistema di due particelle. Queste due particelle possono essere una coppia appartenente ad un sistema: la dimostrazione fatta per la coppia ovviamente può essere ripetuta per ciascuna coppia del sistema, e quindi estendere la dimostrazione a tutto il sistema.

Calcoliamo il momento totale delle forze che agiscono sulla particella i e sulla particella j:

dove i vettori F sono le forze esterne e i vettori f sono le forze interne.

Siccome le forze interne hanno la stessa retta d'azione e il modulo uguale ma verso opposto:

Il prodotto esterno è nullo perché fatto tra due vettori paralleli. Rimangono solo i momenti delle forze esterne al sistema.

1 Gal

Source Wikipedia: "The gal, sometimes called galileo, (symbol Gal) is a unit of acceleration used extensively in the science ofgravimetry. The gal is defined as 1 centimeter per second squared (1 cm/s²). The milligal (mGal) and microgal (µGal) refer respectively to one thousandth and one millionth of a gal. The gal is not part of the International System of Units (SI). However, in 1978 the CIPM decided that it was permissible to use the gal "with the SI until the CIPM considers that [its] use is no longer necessary." The gal is a derived unit, defined in terms of the centimeter-gram-second (CGS) base unit of length, the centimeter, and the second, which is the base unit of time in both the CGS as well as the modern SI system. In SI base units, 1 Gal is precisely equal to 0.01 m/s².The acceleration due to Earth’s gravity (see Standard gravity) at its surface is 976 to 983 Gal, the variation being due mainly to differences in latitude and elevation. Mountains and masses of lesser density within the Earth's crust typically cause variations in gravitational acceleration of tens to hundreds of milligals (mGal). The gravity gradient (variation with height) above Earth's surface is about 3.1 µGal per centimeter of height (3.1×10⁻⁶ s^–2), resulting in a maximum difference of about 2 Gal (0.02 m/s²) from the top of Mount Everest to sea level."

Gravitometer

A gravimeter is an instrument used  for measuring the local gravitational field of the Earth. "A gravimeter is a type of accelerometer, specialized for measuring the constant downward acceleration of gravity, which varies by about 0.5% over the surface of the Earth. Though the essential principle of design is the same as in other accelerometers, gravimeters are typically designed to be much more sensitive in order to measure very tiny fractional changes within the Earth's gravity of 1 g, caused by nearby geologic structures or the shape of the Earth and by temporal tidal variations. This sensitivity means that gravimeters are susceptible to extraneous vibrations including noise that tend to cause oscillatory accelerations. In practice this is counteracted by integral vibration isolation and signal processing. The constraints on temporal resolution are usually less for gravimeters, so that resolution can be increased by processing the output with a longer "time constant". Gravimeters display their measurements in units of gals, instead of ordinary units of acceleration. Gravimeters are used for petroleum and mineral prospecting, seismology, geodesy, geophysical surveys and othergeophysical research, and for metrology." More at http://en.wikipedia.org/wiki/Gravimeter

"The geoid, simply stated, is the shape that the surface of the oceans would take under the influence of gravity alone. All points on that surface have the same scalar potential - there is no difference in potential energy between any two. In that idealized situation, other influences such as winds due to solar heating, and tides have no effect. The surface of the geoid is farther away from the center of the earth where the gravity is weaker, and nearer where it is stronger. The differences in gravity, and hence the scalar potential field, arise from the uneven distribution of the density of matter in the earth.Specifically, the geoid is the equipotential surface that would coincide with the mean ocean surface of the Earth if the oceans and atmosphere were in equilibrium, at rest relative to the rotating Earth,[1] and extended through the continents (such as with very narrow canals). According to Gauss, who first described it, it is the "mathematical figure of the Earth", a smooth but highly irregular surface that corresponds not to the actual surface of the Earth's crust, but to a surface which can only be known through extensive gravitational measurements and calculations. Despite being an important concept for almost two hundred years in the history of geodesy and geophysics, it has only been defined to high precision in recent decades, for instance by works of Petr Vaníček, and others. It is often described as the true physical figure of the Earth,[1] in contrast to the idealized geometrical figure of a reference ellipsoid." More at Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Geoid

AU

Da Wikipedia

The Moon is 0.0026 ± 0.0001 AU from the Earth
Mercury is 0.39 ± 0.09 AU from the Sun
Venus is 0.72 ± 0.01 AU from the Sun
The Earth is 1.00 ± 0.02 AU from the Sun
Mars is 1.52 ± 0.14 AU from the Sun
Ceres is 2.77 ± 0.22 AU from the Sun
Jupiter is 5.20 ± 0.25 AU from the Sun
Saturn is 9.58 ± 0.53 AU from the Sun
Uranus is 19.23 ± 0.85 AU from the Sun
The New Horizons spacecraft is about 22 AU from the Sun (as of 2012), as it makes its way to Pluto for a flyby.
Neptune is 30.10 ± 0.34 AU from the Sun
The Kuiper belt begins at roughly 30 AU [51]
Pluto is 39.3 ± 9.6 AU from the Sun
Beginning of the scattered disk at 45 AU (10 AU overlap with Kuiper Belt)
Ending of Kuiper belt at 50-55 AU
Eris is 68.01 ± 29.64 AU from the Sun
90377 Sedna is currently (as of 2012) about 87 AU from the Sun
94 AU: termination shock between solar winds/interstellar winds/interstellar medium
96.7 AU: the distance of dwarf planet Eris from the Sun, as of 2009. Eris and its moon are currently the most distant known objects in the Solar System apart from long-period comets and space probes.
100 AU: heliosheath
122 AU: as of September 2012, Voyager 1 is the furthest human-made object from the Sun; it is currently traveling at about 3½ AU/yr.
100-1000 AU: mostly populated by objects from the scattered disc
1000-3000 AU: beginning of Hills cloud/inner Oort cloud
20,000 AU: ending of Hills cloud/inner Oort cloud, beginning of outer Oort cloud
50,000 AU: possible closest estimate of the outer Oort cloud limits (0.8 ly)
100,000 AU: possible farthest estimate of the outer Oort cloud limits (1.6 ly)
230,000 AU: maximum extent of influence of the Sun's gravitational field (Hill/Roche sphere)—beyond this is true interstellar medium. This distance is 1.1 parsecs (3.6 light-years).
Proxima Centauri (the nearest star to Earth, excluding the Sun) is ~268 000 AU from the Sun

Lavoro e teorema energia cinetica

Prima di discutere il lavoro come integrale lungo una linea del prodotto scalare di forza e spostamento infinitesimo, discutiamo un semplice problema unidimensionale che ci può mostrare in modo semplice il legame del lavoro con l'energia cinetica. Prendiamo una particella di massa m a cui sia applicata una forza F, costante in modulo direzione e verso. Sia x l'asse coincidente con la direzione della forza  su cui si muove, di conseguenza, la particella di massa m. Siccome la forza è costante anche l'accelerazione lo sarà:  

Abbiamo quindi visto con questo semplice calcolo unidimensionale che esiste una relazione tra la quantità  dimensionata come [forza∙spotamento] con la differenza di due grandezze che sono dimensionate [massa.velocità^2]. Siccome [forza]=[massa∙accelerazione]=[massa∙velocità/tempo], abbiamo che  [forza∙spostamento]=[massa∙(velocità/tempo)∙spostamento]=[msssa∙velocità∙spotamento/tempo]=[m∙velocità^2].

         

Se definiamo E_cin=1/2 mv² come l' energia cinetica allora l'equazione ci dice che la variazione dell'energia cinetica ΔE_cin=1/2 mv² − 1/2 mv_o² ossia la differenza tra l'energia cinetica finale e quella iniziale è uguale al prodotto di F∙per (x-x_o) che è il  lavoro compiuto dalla forza applicata alla particella. L'unità di misura del lavoro nel sistema internazionale è il  Joule ed è definito come il lavoro compiuto dalla forza di un Newton che agisce per un metro. Passiamo adesso ad affrontare la definizione di lavoro per uno spostamento generico.

Definiamo lavoro L compiuto da una forza F su una particella che subisce uno spostamento Δr come:

L=F∙Δr = F Δr cos(F,Δr)

                                                                   

 In genere F varia durante lo spostamento: a ogni piccolo spostamento i-esimo Δr_i lungo la traiettoria della massa corrisponderà una forza diversa F(r_i). Il lavoro totale sarà la somma di tutti i singoli lavori  L_i  per gli spostamenti Δr_i :

 dove N è il numero totale di spostamenti  da A a B. Il calcolo del lavoro sarà tanto più preciso quanto più piccoli sono gli intervalli. Per Δr →0 si avrà: 

L(A→B) è il lavoro fatto dalla forza quando la massa passa da A a B lungo il percorso dato. Il lavoro è definito come l’integrale lungo il percorso nello spazio da A a B del prodotto scalare della forza per lo spstamento infinitesimo.

Generalizziamo ora la relazione trovata nel caso unidimensionale.

Scomponiamo la forza F come somma di due vettori componenti F_parall  e F_perp che sono rispettivamente parallelo e perpendicolare allo spostamento:

(solo la componente della forza parallela allo spostamento lavora). La velocità v che compare nelle formule sritte sopra è la velocità scalare lungo la curva.
Dal calcolo vediamo che: Il lavoro compiuto dalla forza F produce una variazione dell'energia cinetica della particella. Con “variazione” dell’energia cinetica si intende l’energia cinetica finale meno quella iniziale.

Velocità areale

Relazione tra momento angolare e velocità areale.

Per la discussione utilizziamo il momento angolare descritto con le componenti polari della velocità. Possiamo infatti scomporre il vettore velocità in due componenti, come in figura seguente:

La componente della velocità diretta come direzioni u_r è detta “radiale”, quella diretta come u_θ è detta “trasversa” . Per quanto riguarda i moduli delle due componenti si ha che v_r=dr/dt, che indica la variazione della distanza radiale nel tempo, e v_θ= r dθ/dt che indica una rivoluzione sulla circonferenza di raggio r a una velocità angolare data da dθ/dt.

Quindi:

Calcoliamo ora il momento angolare rispetto al  polo del riferimento polare. Si ha che:

Il vettore momento della quantità di moto è perpendicolare al piano che contiene il raggio vettore e il vettore velocità. La direzione di questo vettore è data da quella del vettore unitari u_z. Notiamo che, utilizzando le componenti polari della velocità, nell’espressione finale compare solo la componente trasversale della velocità, che contiene una velocità angolare.

Immaginiamo ora di considerare l’area spazzata dal raggio vettore durante il moto lungo del punto lungo la traiettoria. Consideriamo il caso in cui la traiettoria giaccia sempre su di un piano. La curva crea una regione con una certa area nel piano della figura, regione compresa tra la curva, l’asse del riferimento polare e il raggio vettore OP.

Se la particella si muove, in un certo tempo dt il punto si muove da P a P’. L’area cresce di una quantità dArea, come in figura. Se dt è piccolo, l’arco si confonde con la corda ed è circa uguale all’altezza del triangolo OPP’. L’area di questo triangolo è:

dArea= ½ r²dθ

Dividiamo per il tempo ed abbiamo la velocità areolare: dArea/dt= = ½ r²dθ/dt.

Consideriamo ora un caso molto interessante. Supponiamo che la particella si muova soggetta a una forza centrale con centro nel polo O. Se calcoliamo il momento angolare rispetto allo stesso polo, sappiamo che esso deve essere costante in quanto il momento della forza centrale è nullo. Questo significa che la particella in moto dovrà muoversi mantenendo L costante. Come conseguenza il piano dell’orbita (che contiene raggio vettore e velocità) deve rimaner costante.

Il modulo è inoltre legato alla velocità areale. Si ha:

In un campo centrale, la velocità areolare è costante poiché lo è il momento angolare.

Il campo gravitazionale è un campo centrale. Vale la seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. La conseguenza di questa legge è che la velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, il pianeta è più veloce. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.