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Tuesday, 19 March 2013

Domanda di teoria - moto rettilineo


Discutere il moto su una retta.

La cinematica si occupa del moto dei corpi senza discutere le cause che lo determinano. Il problema più semplice che iniziamo a studiare è quello della descrizione del moto di un punto materiale. Il punto materiale è un corpo le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze tipiche dell'ambiente in cui si trova. Anche la terra nel suo moto intorno al sole può essere considerata un punto materiale perché il suo diametro è molto più piccolo della distanza terra-sole. (Nel caso si avesse un oggetto rigido esteso, le cui dimensioni non siano trascuabili, il moto può essere descritto col moto del centro di massa e con la rotazione attorno ad esso).
Per descrivere il moto di un punto dobbiamo innanzitutto dire rispetto a che riferimento lo descriviamo. Prendiamo come riferimento tre assi cartesiani x, yz ed un orologio. Il moto del punto P sarà dato dalle coordinate di P nel riferimento in funzione del tempo t: x(t),y(t),z(t).
La traiettoria del punto sarà l'insieme di tutti i punti in cui si trova il corpo con le coordinate cartesiane date in funzione del tempo. Il caso più semplice da trattare è quello del moto rettilineo, cioè del moto che avviene su una retta. In questo caso il riferimento cartesiano è un asse coincidente con la retta lungo cui avviene il moto, su cui dobbiamo fissare un'origine ed un verso: associato all'asse x ci sarà allora anche il vettore unitario i che ci dice qual è il verso di percorrenza dell'asse che noi assumiamo positivo. Un cronometro serva per misurare il tempo.


Il moto del punto P sarà descritto dalla funzione x(t), dove la coordinata può essere positiva o negativa a seconda dell'orientazione dell'asse. Nella figura, x sarà positiva a destra di O e negativa se a sinistra di O.
Adesso immaginiamo di seguire il moto del punto sull'asse registrando le posizioni che esso occupa ed il tempo a cui le occupa. Consideriamo due istanti t e t' e chiamiamo le due posizioni occupate P e P' con coordinate x ed x'.


Nell'intervallo di tempo (t'-t) il punto si è spostato rispetto all'origine di (x'-x). Definiamo la velocità media come il rapporto:


Notiamo che essa può essere positiva o negativa a seconda che il punto si muova concordemente con il versore o no. Se l'intervallo di tempo diventa molto piccolo, ossia tende a zero, la velocità media descriverà istante per istante, e quindi sempre meglio, la velocità del punto materiale: la velocità media verrà allora chiamata velocità istantanea.
Se scriviamo l'operazione matematica di limite per un intervallo di tempo  che diventa sempre più piccolo, ossia facciamo tendere t' a t, la velocita' media diventa la velocità istantanea. Essa è definita come:


dove con dx e dt si sono indicati gli spostamenti (x'-x) e (t'-t) molto piccoli. Il rapporto dx/dt indica l'operazione matematica di derivazione. La variabile x è una funzione del tempo x(t): se si calcola il rapporto


si ha l'incremento della funzione (nel nostro caso, della posizione x) rispetto all'incremento del tempo: al limite per l'intervallo di tempo che tende a zero si ha la rapidità di questa variazione.
Lo stesso ragionamento fatto per la velocità si può fare per l' accelerazione che dà la variazione della velocità riferita al tempo. L'accelerazione media è:



e quella istantanea:



Ma se ci ricordiamo che: v=dx/dt allora:


dove si è introdotta la notazione della derivata seconda rispetto alla variabile t.
Discutiamo ora le dimensioni della velocità e della accelerazione. La prima grandezza è il rapporto di uno spazio su di un tempo mentre l'accelerazione è il rapporto di una velocità su di un tempo e quindi:

Le unità di misura nel sistema internazionale saranno m/s e m/s/s mentre nel CGS saranno cm/s e cm/s/s rispettivamente.
Studiamo ora alcuni moti rettilinei semplici e cerchiamo di dare per ciascuno di essi l'equazione del moto, ossia l'equazione di x in funzione del tempo t.
I caso: Il punto è fermo, l'equazione che descrive la traiettoria, ossia le posizioni occupate al passare del tempo sono semplicemente:

Infatti, se al tempo iniziale to, che è l'istante di tempo cui noi cominciamo l'osservazione del moto, il punto era in xo, esso vi resta anche negli istanti successivi.

II caso: Moto uniforme. Il punto si muove a velocità costante:


Proviamo a scrivere come equazione del moto:

(*)

Vediamo se è vero. Notiamo che al tempo t=to, x=xo: non è altro che la posizione occupata al tempo iniziale dalla particella e che noi chiamiamo posizione iniziale. È quindi un termine necessario per avere il valore di xo al tempo zero. Se deriviamo l'espressione  (*) rispetto al tempo, otteniamo:

che dice cha la velocità della particella è costante ed è vo. Il contributo vo(t-to) rappresenta l'incremento della posizione al passar del tempo.

III caso: Moto uniformemente accelerato. Il punto si muove con una accelerazione costante

a=costante

Come sarà la velocità v e la posizione x? Proviamo con le due seguenti equazioni e vediamo se sono corrette:

 v = vo +ao (t-to)                                (*)
 x = xo + vo (t-to) + 1/2 ao (t-to)^2     (**)

Se utilizziamo le definizioni (*) e (**) di posizione x e di velocità v date sopra:


Derivando ancora


Le due equazioni (*),(**) sono quindi quelle che descrivono in modo corretto il moto uniformemente accelerato. Notiamo che i valori di x,v,a possono essere positivi o negativi. x è positivo o negativo a seconda della scelta dell’orientazione dell‘asse. Lo stesso vale per velocita’ ed accelerazione, se sono concordi o discordi con l’orientazione dell’asse.
Ovviamente il moto può avere accelerazione non costante, ma dipendente dal tempo: a=a(t). In questo caso la velocità è data dall’integrale:

Una volta calcolata la velocità in funzione del tempo, si puo’ calcolare la posizione in funzione del tempo si ha:
.