Domanda di teoria - moto coordinate cartesiane

Discutere il moto nello spazio in componenti cartesiane.

Per definizione, il vettore posizione rappresenta la posizione relativa del punto P rispetto al punto O scelto come origine. Il vettore spostamento è la variazione della posizione del punto da P a un punto P', senza curarci di come andiamo da un punto all'altro. È quindi un vettore che non dipende da come il punto si è mosso nello spazio tra la posizione  P e la  P'.

Nello spazio, la posizione di un punto in funzione del tempo la possiamo descrivere tramite il vettore posizione r(t) :

Per comodità in figura si sono rappresentate solo le due dimensioni x e y. Si sono indicate le posizioni P e P' del punto nei due istanti t e t’. Lo spostamento del punto da P a P' lo diamo tramite la differenza dei vettori posizione e quindi tramite un vettore spostamento:

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La velocità media sarà definita come il rapporto tra il vettore spostamento Δr ed il tempo impiegato per compiere questo spostamento t’-t=Δt:

Notiamo che essendo, per definizione, il rapporto di un vettore per un scalare, la velocità è una grandezza vettoriale. Se l'intervallo Δt diventa molto piccolo si ottiene la velocità istantanea:

dove compare l'espressione della derivata.

Come abbiamo già fatto per il calcolo della somma dei vettori, passiamo ad utilizzare le componenti cartesiane per semplificare i calcoli. Un generico vettore lo possiamo pensare come la somma di tre pezzi:

Siccome i tre versori non cambiano al passare del tempo poiché si tiene fisso il riferimento, potranno cambiare solo le componenti x, y e z, ed infatti nella scrittura ne abbiamo già esplicitato la dipendenza come funzioni del tempo. Scriviamo allora immediatamente la velocità come la seguente derivata: 

Indico con:

le componenti della velocità lungo i tre assi. L'accelerazione è:

Il moto nello spazio, se lo pensiamo descritto mediante le tre componenti cartesiane diventa la composizione di tre moti lungo i tre assi cartesiani. Il moto lungo l' asse x non è altro che il moto della proiezione x(t), prorpio lungo quest'asse, e così per y e z. Tutto ciò che abbiamo visto per il moto lungo una dimensione e che abbiamo studiato in precedenza continua a valere per ciascuno dei tre assi. Quindi le equazioni per la velocità, per l'accelerazione e per la posizione che abbiamo già ricavato varranno per ciascuno dei tre moti lungo gli assi.

Facciamo un esempio, pensiamo ad una particella, inizialmente posta nell'origine del riferimento, sottoposta ad una accelerazione a diretta lungo l’asse y, ed avente una velocità iniziale v diretta lungo l’asse x. Non c’è accelerazione e velocità iniziale lungo l’asse z. Inoltre la posizione iniziale è nell'origine. Assumiamo to=0 il tempo iniziale, quando la particella è nell’origine.
Allora: vo=vo i, a=a j

Scriviamo le equazioni del moto uniformemente accelerato lungo i tre assi:

Il moto si svolge nel piano xy. Sommando i contributi per i vettori velocità e posizione:

Siamo ora in grado di analizzare il moto dei gravi in un piano verticale (x,y). Consideriamo il caso in cui vi sia solo presente l'accelerazione di gravità g lungo l'asse verticale y. Scegliamo l'asse y orientato verso l'alto (vedi figura).

Nella figura si vede una parte della traiettoria di un grave che parte dall'origine con una con una velocità iniziale di modulo vo. Esso è soggetto all'accelerazione di gravità g = - g j. g indica il modulo dell'accelerazione.
La traiettoria che descrive il pallone risulta essere una traiettoria parabolica. Scriviamo le equazioni per il moto lungo l'asse x e l'asse y: 

Quindi:

Da cui, se si ricava t dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda:

che è proprio  l'equazione di una parabola:

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