Weblog on Physics: Domande di teoria

Showing posts with label Domande di teoria. Show all posts

Tuesday 19 March 2013

Domanda di teoria - moto coordinate cartesiane

Discutere il moto nello spazio in componenti cartesiane.

Per definizione, il vettore posizione rappresenta la posizione relativa del punto P rispetto al punto O scelto come origine. Il vettore spostamento è la variazione della posizione del punto da P a un punto P', senza curarci di come andiamo da un punto all'altro. È quindi un vettore che non dipende da come il punto si è mosso nello spazio tra la posizione P e la P'.

Nello spazio, la posizione di un punto in funzione del tempo la possiamo descrivere tramite il vettore posizione r(t) :

Per comodità in figura si sono rappresentate solo le due dimensioni x e y. Si sono indicate le posizioni P e P' del punto nei due istanti t e t’. Lo spostamento del punto da P a P' lo diamo tramite la differenza dei vettori posizione e quindi tramite un vettore spostamento:

La velocità media sarà definita come il rapporto tra il vettore spostamento Δr ed il tempo impiegato per compiere questo spostamento t’-t=Δt:

Notiamo che essendo, per definizione, il rapporto di un vettore per un scalare, la velocità è una grandezza vettoriale. Se l'intervallo Δt diventa molto piccolo si ottiene la velocità istantanea:

dove compare l'espressione della derivata.

Come abbiamo già fatto per il calcolo della somma dei vettori, passiamo ad utilizzare le componenti cartesiane per semplificare i calcoli. Un generico vettore lo possiamo pensare come la somma di tre pezzi:

Siccome i tre versori non cambiano al passare del tempo poiché si tiene fisso il riferimento, potranno cambiare solo le componenti x, y e z, ed infatti nella scrittura ne abbiamo già esplicitato la dipendenza come funzioni del tempo. Scriviamo allora immediatamente la velocità come la seguente derivata:

Indico con:

le componenti della velocità lungo i tre assi. L'accelerazione è:

Il moto nello spazio, se lo pensiamo descritto mediante le tre componenti cartesiane diventa la composizione di tre moti lungo i tre assi cartesiani. Il moto lungo l' asse x non è altro che il moto della proiezione x(t), prorpio lungo quest'asse, e così per y e z. Tutto ciò che abbiamo visto per il moto lungo una dimensione e che abbiamo studiato in precedenza continua a valere per ciascuno dei tre assi. Quindi le equazioni per la velocità, per l'accelerazione e per la posizione che abbiamo già ricavato varranno per ciascuno dei tre moti lungo gli assi.

Facciamo un esempio, pensiamo ad una particella, inizialmente posta nell'origine del riferimento, sottoposta ad una accelerazione a diretta lungo l’asse y, ed avente una velocità iniziale v diretta lungo l’asse x. Non c’è accelerazione e velocità iniziale lungo l’asse z. Inoltre la posizione iniziale è nell'origine. Assumiamo to=0 il tempo iniziale, quando la particella è nell’origine.
Allora: vo=voi, a=a j

Scriviamo le equazioni del moto uniformemente accelerato lungo i tre assi:

Il moto si svolge nel piano xy. Sommando i contributi per i vettori velocità e posizione:

Siamo ora in grado di analizzare il moto dei gravi in un piano verticale (x,y). Consideriamo il caso in cui vi sia solo presente l'accelerazione di gravità g lungo l'asse verticale y. Scegliamo l'asse y orientato verso l'alto (vedi figura).

Nella figura si vede una parte della traiettoria di un grave che parte dall'origine con una con una velocità iniziale di modulo vo. Esso è soggetto all'accelerazione di gravità g = - g j. g indica il modulo dell'accelerazione.
La traiettoria che descrive il pallone risulta essere una traiettoria parabolica. Scriviamo le equazioni per il moto lungo l'asse x e l'asse y:

Quindi:

Da cui, se si ricava t dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda:

che è proprio l'equazione di una parabola:

Domanda di teoria - dimensioni

Cosa sono le dimensioni e le equazioni dimensionali?

Quando studiamo un fenomeno dal punto di vista della fisica studiamo le grandezze fisiche . Esse sono tali perché su di loro è possibile compiere delle misurazioni. È immediato quindi pensare alla lunghezza come grandezza fisica, perché nella pratica comune la misuramo con il metro. Ricordiamo che la misurazione è l`azione di confronto tra la grandezza fisica e la grandezza campione, che costituisce l'unità di misura di questa grandezza.
Oltre alla lunghezza, ache il tempo è un concetto comune. Il tempo diventa una grandezza fisica quanto confrontiamo un intervallo di tempo con, ad esempio, il periodo di oscillazione del pensolo. Possiamo prendere questo periodo come unità di misura: il tempo diventa così una grandezza fisica. La stessa cosa vale per la massa, se pensiamo alla sua misura con la bilancia. In questo caso il confronto avviene con masse campioni.

Vi sono però grandezze che si misurano indirettamente, come ad esempio la velocità. La velocità media sappiamo essere una distanza diviso il tempo impiegato a percorrerla. La misura sarà quindi ottenuta misurando la distanza, che è una lunghezza, e registrando il tempo con un cronometro. Il rapporto, per esempio in metri al secondo, ci darà la velocità. Per avere la velocità si deve usare lughezza e tempo. Anche l’accelerazione viene valutata con lunghezze e tempi.

Come nel linguaggio comune le dimensioni servono per descrivere gli oggetti (ad es.: altezza, larghezza, profondità di un tavolo, colore, materiale, etc.), così nella fisica si scelgono delle grandezze fisiche che sono considerate fondamentali. Esse sono nella cinematica la lunghezza ed il tempo. Se studiamo i fenomeni della meccanica, la massa, la lunghezza ed il tempo; se studiamo i fenomeni elettromagnetici dobbiamo anche considerare la carica elettrica. Se ci occupiamo di problemi termici dobbiamo utilizzare anche la temperatura come grandezza fondamentale. Tutte le grandezze fisiche possono essere riferite a queste grandezze fondamentali che vengono chiamate dimensioni.

Si intende per grandezza dimensionata una grandezza fisica che sia o una grandezza fondamentale o un prodotto di potenze di grandezze fondamentali.

Per esempio, l'accelerazione di gravita' g è dimensionalmente:

Le unità di misura seguono di conseguenza: utilizzando il metro per la lunghezza ed il secondo per il tempo si ha

Possono esistere diversi sistemi di misura: ricordiamo solo le unità di misura delle grandezze fondamentali meccaniche nel sistema SI (Sistema Internazionale) e nel CGS: in SI sono il metro (m), il secondo (s) ed il kilogrammo (kg) mentre nel CGS sono il centimetro (cm), il secondo (s) ed il grammo (g).
In fisica vi sono anche grandezze adimensionate, esse sono dei numeri puri e provengono da rapporti tra grandezze dimensionate. Un esempio è il pi-greco che geometricamente è il rapporto tra la circonferenza ed il diametro.

Per spiegare che cosa è un’equazione dimensionale, facciamo il seguente esempio. Un’espressione della cinematica del moto rettilineo uniformemente accelerato è

(1)

Ci possiamo chiedere se è dimensionalmente corretta. Supponiamo v e vo siano dellle velocità, a l'accelerazione e t un intervallo di tempo. Associamo a questa equazione, un’equazione dove ci siano le dimensioni delle grandezze in gioco:

Le parentesi quadrate servono ad indicare che stiamo analizzando le dimensioni delle grandezze fisiche nelle parentesi. Sappiamo già che v e vo sono due velocità, e che quindi hanno le stesse dimensioni: non ci resta che far vedere che il prodotto at ha le dimensioni di una velocità. Infatti è possibile sommare solo grandezze dello stesso tipo, come nel caso presente, velocità con velocità.
Quindi verifichiamo:

L'equazione (1) è dimensionalmente corretta. Notiamo anche che i termini sommati nell’equazione dimensionale devono essere omogenei, ossia avere le stesse dimensioni. Ad esempio, possiamo sommare velocità con veloctià, ma non velocità con accelerazione.

Un uso delle equazioni fondamentali è mostrato dall’esempio seguente. Noi sappiamo che per tenere un oggetto in moto su di una circonferenza con velocità costante è necessaria una forza chiamata forza centripeta. Quali sono le dimensioni della forza centripeta?

Pensiamo alla massa m come una pallina che ruota tenuta da una fune lunga R. Chiediamoci allora quali sono le grandezze coinvolte nel problema: ci sono la massa m che si muove su una circonferenza di raggio R con velocità v. La fune è la responsabile del moto circolare ed è lei che esercita la forza centripeta.
Proviamo a scrivere una equazione per la forza:

dove diciamo che la forza dipende dalla massa, dal raggio della traiettoria e dalla velocità ma con certi esponenti a,b,c che non conosciamo. Conosciamo però le dimensioni della forza, della velocità e del raggio e quindi possiamo scrivere la seguente equazione con le dimensioni: