Weblog on Physics

Wednesday, 4 May 2011

Esercizio - urti

Un proiettile di massa m ha velocità v orizzontale prima di passare attraverso un blocco di paraffina di massa M che è fermo sul piano. Tra il piano e il blocco non c'è attrito. Uscito dal blocco il proitettile ha una velocità inferiore v', sempre orizzontale. Dopo l'urto, M si muove e comprime la molla di costante K. La molla ha un'estremo vincolato alla parete. Trovate la massima compressione della molla.

Il sistema è costituito dal proiettile e dal blocco di paraffina. Le forze esterne verticali hanno risultante nulla. Non ci sono forze esterne orizzontali (durante l'urto M non tocca la molla).

Applichiamo la conservazione della quantità di moto totale:

mv=mv'+Mw

Dopo l'urto, M si avvicina alla molla e la comprime finché non si ferma per un istante per poi essere respinto dalla molla. Quando si ferma abbiamo la massima compressione della molla. Applichiamo la conservazione dell'energia:

1/2 M w^2= 1/2 K x^2

(dove w^2 significa w quadrato, x^2 significa x quadrato)

x^2 = (Mw^2)/K = [M (mv-mv'/M)^2] / K

Commento in risposta a giusta osservazione: meglio disegnare la massa M staccata dalla molla, così non si ha sicuramente alcuna azione della molla durante l'urto.

Saturday, 30 April 2011

The frames

Laboratory frame of reference (wiki)
In physics, the laboratory frame of reference, or lab frame for short, is a frame of reference centered on the laboratory in which the experiment (either real or thought experiment) is done. This is the reference frame in which the laboratory is at rest. Also, this is usually the frame of reference in which measurements are made, since they are presumed (unless stated otherwise) to be made by laboratory instruments. An example of instruments in a lab frame, would be the particle detectors at the detection facility of a particle accelerator.
Center of momentum frame (wiki)
A center of momentum frame (or zero-momentum frame, or COM frame) of a system is any inertial frame in which the center of mass is at rest (has zero velocity). Note that the center of momentum of a system is not a location, but rather defines a particular inertial frame (a velocity and a direction). Thus "center of momentum" already means "center of momentum frame" and is a short form of this phrase. A special case of the center of momentum frame is the center of mass frame: an inertial frame in which the center of mass (which is a physical point) is at the origin at all times. In all COM frames, the center of mass is at rest, but it may not necessarily be at rest at the origin of the coordinate system.
In the centre of momentum frame, the total linear momentum of the system is zero. Also, the total energy of the system is the minimal energy as seen from all possible inertial reference frames. In relativity, COM frame exists for a massive system. In the COM frame the total energy of the system is the "rest energy", and this quantity (when divided by the factor c2) therefore gives the rest mass (positive invariant mass) of the system.
Systems which have energy but zero invariant mass (such as photons moving in a single direction, or equivalently, plane electromagnetic waves) do not have COM frames, because there is no frame which they have zero net momentum. Because of the invariance of the speed of light, such massless systems must travel at the speed of light in any frame, and therefore always possess a net momentum-magnitude which is equal to their energy divided by the speed of light: p = E/c.

Let us note that:
"A “frame of reference” is a standard relative to which motion and rest may be measured; any set of points or objects that are at rest relative to one another enables us, in principle, to describe the relative motions of bodies. A frame of reference is therefore a purely kinematical device, for the geometrical description of motion without regard to the masses or forces involved. A dynamical account of motion leads to the idea of an “inertial frame,” or a reference frame relative to which motions have distinguished dynamical properties. For that reason an inertial frame has to be understood as a spatial reference frame together with some means of measuring time, so that uniform motions can be distinguished from accelerated motions. The laws of Newtonian dynamics provide a simple definition: an inertial frame is a reference-frame with a time-scale, relative to which the motion of a body not subject to forces is always rectilinear and uniform, accelerations are always proportional to and in the direction of applied forces, and applied forces are always met with equal and opposite reactions. It follows that, in an inertial frame, the center of mass of a system of bodies is always at rest or in uniform motion. It also follows that any other frame of reference moving uniformly relative to an inertial frame is also an inertial frame. For example, in Newtonian celestial mechanics, taking the “fixed stars” as a frame of reference, we can determine an (approximately) inertial frame whose center is the center of mass of the solar system; relative to this frame, every acceleration of every planet can be accounted for (approximately) as a gravitational interaction with some other planet in accord with Newton's laws of motion."
da http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-iframes/
NOTA BENE: stiamo parlando di un riferimento inerziale, con un sistema di particelle in esso. Non ci devono essere azioni esterne altrimenti non siamo più in un sistema ienrziale.

Il "centro" del sistema solare

Se siete curiosi del sistema solare

IL CENTRO DI MASSA DEL SISTEMA SOLARE e IL SUO MOTO
http://daltonsminima.wordpress.com/2010/07/27/il-centro-di-massa-del-sistema-solare-e-il-suo-moto-dal-ciclo-a-trifoglio-ad-un-ciclo-irregolare-la-via-per-comprendere-i-minimi%C2%A0solari/

Friday, 29 April 2011

Orbite chiuse e aperte

In astronomia, un'orbita è la traiettoria di un corpo celeste, di un satellite artificiale o di un veicolo spaziale nello spazio, dove in genere è presente il campo gravitazionale generato da un altro corpo celeste.
In base all'energia posseduta dal corpo le orbite possono essere chiuse e periodiche oppure aperte e non periodiche.

Orbita ellittica: l'orbita è chiusa ed è un'ellisse se l'energia totale E del corpo è minore di zero (cioè se l'energia cinetica è minore dell'energia potenziale). Sono ellittiche le orbite dei pianeti del sistema solare e di tutti i loro satelliti. L'orbita circolare è un caso particolare di orbita ellittica.
Traiettoria iperbolica: l'orbita è aperta ed è un'iperbole se l'energia totale E del corpo è maggiore di zero (ovvero se l'energia cinetica è maggiore dell'energia potenziale). Sono iperboliche le orbite delle sonde spaziali inviate al di fuori del sistema solare.
Traiettoria parabolica: da un punto di vista teorico occorre inoltre aggiungere che se E=0, l'orbita risulterà una parabola; tale orbita rappresenta l'elemento di separazione tra la famiglia di orbite chiuse e di orbite aperte.

Velocità orbitale in un'orbita circolare terrestre
Consideriamo un corpo di massa m che si muove su un'orbita circolare ad una distanza r dal centro della Terra (ovvero ad una quota h = r - R_T, dove R_T è il raggio della Terra). Tale corpo è soggetto alla forza di gravità

$F_g= G \,\frac {{M}{m}}{r^2}$ ,

essendo G = 6,672 × 10⁻¹¹ N (m/kg)² la costante di gravitazione universale e M = 5,9 × 10²⁴ kg la massa della Terra. Il corpo su una traiettoria circolare di raggio r è soggetto alla forza centripeta pari a

$F_c= m \frac {v^2}{r}$

essendo v la velocità tangenziale.
Perché il corpo continui a percorrere l'orbita circolare, la forza di gravità deve uguagliare la forza centripeta, F_g = F_c:

$G \,\frac {{M}{m}}{r^2}=m \frac {v^2}{r}$ ;

Semplificando m ed r e risolvendo rispetto a v si ottiene:

$v= \sqrt \frac {{G}{M}}{r}$ .

Tenendo conto che la velocità tangenziale è legata al periodo orbitale dalla relazione

$v=2 \pi \frac {r}{T}$

è possibile esprimere T in funzione di r, ottenendo

$T^2=\frac {{4} {\pi^2}}{GM}\,r^3$ .

Questa non è altro che la terza legge di Keplero. La costante K che compare nella terza legge è quindi definita da

$K =\frac {{4} {\pi^2}}{GM}$

La terza legge di Keplero permette quindi di determinare l'altezza di un'orbita geostazionaria, cioè un'orbita equatoriale il cui periodo è pari al giorno siderale della Terra, T_rot = 23 h 56 min 4,09 s = 86.164,09 s:

$r_{geos} =\sqrt[3] {\frac {G M T_{rot}^2} {4 \pi^2}} = 42.168 \, km$

che corrisponde ad un'altezza di 35.790 km sopra l'equatore.
Un'orbita geostazionaria è un'orbita circolare ed equatoriale, situata ad una altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite che la percorre coincide con il periodo di rotazione della Terra. Tale orbita viene definita 'geostazionaria' in quanto per un osservatore a terra, il satellite appare fermo in cielo, sospeso sempre al di sopra del medesimo punto dell'equatore, muovendosi alla stessa velocità angolare della Terra.
Per pianeti diversi dalla Terra, tale orbita è anche detta isosincrona. Non per tutti i pianeti è possibile che vi sia un'orbita stazionaria, in quanto la loro velocità di rotazione può essere tale da richiedere che il satellite stia in un'orbita troppo vicina oppure troppo lontana per essere stabile.
Si definiscono orbite equatoriali quelle orbite il cui piano orbitale coincide con il piano equatoriale dell'attrattore. Nel caso di orbite equatoriali terrestri, il piano orbitale coinciderà con il piano definito dall'equatore terrestre.
(Adattato da Wiki)

Il- paracadutista

n.15 - motociclista

A motorist drives North for 35 min at 85 km/hr and then stops for 15 minutes. He then continues North, traveling 130 km in 2 hr. What is the total displacement? What is the average velocity?

From A to B : 35 min at 85 km/hr

From B to B : 15 min at rest

From B to C : 2 hr on a distance of 130 km

D = Displacemnet A -- > C = (130+ 35/60 hr x 85 km/hr) = 179 km

Average velocity = D/t = 179 km / (35/60+15/60+2) hr = 63.2 km/hr

In the average velocity, we have the tital time, including also 15/60 hr, the time spent at rest.

Transparent materials for solar energy

"Researchers in the US have developed a new kind of organic solar cell that converts a small but significant fraction of the sunlight that falls onto it into electricity, while still allowing most of the visible part of that light to pass through. Thanks to this transparency, the team says that the cell could be mounted onto windows in buildings or cars in order to tap a currently under-exploited source of energy."

Transparent material opens a new window on solar energy - physicsworld.com

Noether's (first) theorem

"Noether's (first) theorem states that any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law. The theorem was proved by German mathematician Emmy Noether in 1915 and published in 1918.[1] The action of a physical system is the integral over time of a Lagrangian function (which may or may not be an integral over space of a Lagrangian density function), from which the system's behavior can be determined by the principle of least action.
Noether's theorem has become a fundamental tool of modern theoretical physics and the calculus of variations. A generalization of the seminal formulations on constants of motion in Lagrangian and Hamiltonian mechanics (1788 and 1833, respectively), it does not apply to systems that cannot be modeled with a Lagrangian; for example,dissipative systems with continuous symmetries need not have a corresponding conservation law." Wikipedia, l'enciclopedia libera.