Gradiente e pendenza

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Matematica Generale Con Il Calcolatore  By Michele Impedovo

Momento della forza - Qualche volta si sente dire, in modo semplice, che il "momento della forza" è il "braccio" per la "forza". Che dimensioni ha il momento della forza?

Il "braccio" è una lunghezza - Dimensione [L]

La "forza" ha dimensioni [M][L][T^-2]

[momento]= [M][L²][T^-2]

Quali altre grandezze fisiche hanno le stesse dimensioni?

Equazione dimensionale

Lo spostamento S di una particella che si muove con accelerazione costante è funzione di tempo, accelerazione e velocità. Come?

Introduciamo una equazione: S=k a^b t^c + k' v^d t^e + k'' S_o

 k,k',k'' sono costanti di proporzionalità. Numeri senza dimensioni.
Dobbiamo determinare gli esponenti b,c,d,e.

Passo all'eq. dimensionale: [S]= [ a^b t^c] + [ v^d t^e ] + [ S_o ]

[L]= [ a^b t^c] + [ v^d t^e ] + [ L ]

[L]= [ L^b T^-2b T^c] + [ L^d T^-d T^e ] + [ L ]

[L]= [ L^b T^-2b+c ] + [ L^d T^-d+e ] + [ L ]

Deve essere:

b=1, -2b+c=0, d=1, -d+e=0

da cui: b=1, c=2, d=1, e=1.

Lo spostamento S di una particella che si muove con accelerazione costante è una funzione di tempo ed accelerazione.  Scriviamo:

S = k a^b t^c  

dove k è una costante di proporzionalità (un numero). Mostrare che b=1 e c=2. 

[S] = [L] = [k] [a^b] [t^c]  = [a^b] [t^c]

La costante k non ha dimensioni.

[L] = [L^b T^-2b]  [T^c]

[L¹ T^o ] = [L^b T^-2b+c]

b=1, 0=c-2b=c-2 da cui: c=2.

Dimensioni accelerazione centripeta

Quando un oggetto si muove di moto circolare uniforme, esso è soggetto all'accelerazione centripeta v²/R, dove v è la velocità in modulo ed R il raggio. Verificare le dimensioni.

[a _c] = [v²/R] = [v² R^-1] = [L² t^-2 R^-1] =

 [L² T^-2 L^-1] =  [L T ^-2] = [accelerazione]

Nel moto circolare uniforme, la velocità scalare della particella è data dall'equazione v = ω R, dove ω è la velocità angolare ed R il raggio. Che dimensioni ha ω? Che unità di misura?

Energia cinetica, energia potenziale e lavoro hanno le stesse dimensioni?

[Energia]    cinetica, potenziale  [Lavoro]

Energia cinetica, E _c= 1/2 m v²
[E _c]= [ m v²]=[ M L² T^-2 ]

Energia potenziale, E _c= m g h

[E _c]= [ m g h ]=[ M L² T^-2 ] 

Lavoro = L F
[L F] = [ L M L T^-2 ] = [ M L² T^-2 ]