Domanda di teoria - moto circolare

Discutere il moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme, ed in generale il moto circolare, dovrebbe essere descritto usando le coordinate polari, con polo nel centro della circonferenza, che è la traiettoria del moto, ed un asse x, come mostrato in figura. Il punto si muove sulla circonferenza di raggio r e quindi la coordinata radiale è r ed è costante, mentre quella angolare è data da come  l'aagolo ф  varia col tempo.

Introduciamo il vettore unitario radiale u_r e il vettore unitario u_ф tangenziale al cerchio, ortogonale ad u_r come in figura. Questi due vettori cambiano col tempo: è vero che il loro modulo rimane costantemente fisso ad 1, ma la direzione cambia seguendo il moto del punto lungo la curva. 

Ci sono delle relazioni che legano questi due vettori unitari a i e j che sono i vettori unitari del piano cartesiano. Queste relazioni sono: 

  

La velocità è data da  v=v u_ф , prodotto della velocità scalare per il vettore unitario tangenziale.
Vogliamo calcolare l’accelerazione. Deriviamo la velocità:

 

Calcoliamo la derivate del vettore unitario u_ф:

Lasciatemi ricordare che abbiamo usato la seguente formula di derivazione:

 I vettori unitari i e j  hanno derivate nulle perché sono fissi. Quindi:

Se la velocità angolare è costante: ф=ω∙t. Ricordiamoci che tra angoli, archi e raggio esiste la relazione s=rф, come in figura.

Calcoliamo:

  

Definiamo ds/dt=v , la velocità scalare: abbiamo che  v = r ω. L’accelerazione è in generale data dalla somma di una componente centripeta e da una tangenziale. Se la velocità angolare è costante, l’accelerazione tangenziale è nulla. Resta solo il termine centripeto:

Alla velocità angolare si può dare un carattere vettoriale, introducendo il vettore velocità angolare, che è perpendicolare al cerchio e tale che il suo prodotto col raggio vettore dia il vettore velocità, come si vede in figura.

 

Se deriviamo la velocità, abbiamo:

Se la velocità angolare resta costante, c’è solo il termine centripeto, come abbiamo già discusso prima.

Quindi, nel caso del moto circolare uniforme:

Domanda di teoria - moto rettilineo

Discutere il moto su una retta.

La cinematica si occupa del moto dei corpi senza discutere le cause che lo determinano. Il problema più semplice che iniziamo a studiare è quello della descrizione del moto di un punto materiale. Il punto materiale è un corpo le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze tipiche dell'ambiente in cui si trova. Anche la terra nel suo moto intorno al sole può essere considerata un punto materiale perché il suo diametro è molto più piccolo della distanza terra-sole. (Nel caso si avesse un oggetto rigido esteso, le cui dimensioni non siano trascuabili, il moto può essere descritto col moto del centro di massa e con la rotazione attorno ad esso).
Per descrivere il moto di un punto dobbiamo innanzitutto dire rispetto a che riferimento lo descriviamo. Prendiamo come riferimento tre assi cartesiani x, y e z ed un orologio. Il moto del punto P sarà dato dalle coordinate di P nel riferimento in funzione del tempo t: x(t),y(t),z(t).

La traiettoria del punto sarà l'insieme di tutti i punti in cui si trova il corpo con le coordinate cartesiane date in funzione del tempo. Il caso più semplice da trattare è quello del moto rettilineo, cioè del moto che avviene su una retta. In questo caso il riferimento cartesiano è un asse coincidente con la retta lungo cui avviene il moto, su cui dobbiamo fissare un'origine ed un verso: associato all'asse x ci sarà allora anche il vettore unitario i che ci dice qual è il verso di percorrenza dell'asse che noi assumiamo positivo. Un cronometro serva per misurare il tempo.

Il moto del punto P sarà descritto dalla funzione x(t), dove la coordinata può essere positiva o negativa a seconda dell'orientazione dell'asse. Nella figura, x sarà positiva a destra di O e negativa se a sinistra di O.

Adesso immaginiamo di seguire il moto del punto sull'asse registrando le posizioni che esso occupa ed il tempo a cui le occupa. Consideriamo due istanti t e t' e chiamiamo le due posizioni occupate P e P' con coordinate x ed x'.

Nell'intervallo di tempo (t'-t) il punto si è spostato rispetto all'origine di (x'-x). Definiamo la velocità media come il rapporto:

Notiamo che essa può essere positiva o negativa a seconda che il punto si muova concordemente con il versore o no. Se l'intervallo di tempo diventa molto piccolo, ossia tende a zero, la velocità media descriverà istante per istante, e quindi sempre meglio, la velocità del punto materiale: la velocità media verrà allora chiamata velocità istantanea.

Se scriviamo l'operazione matematica di limite per un intervallo di tempo  che diventa sempre più piccolo, ossia facciamo tendere t' a t, la velocita' media diventa la velocità istantanea. Essa è definita come:

dove con dx e dt si sono indicati gli spostamenti (x'-x) e (t'-t) molto piccoli. Il rapporto dx/dt indica l'operazione matematica di derivazione. La variabile x è una funzione del tempo x(t): se si calcola il rapporto

si ha l'incremento della funzione (nel nostro caso, della posizione x) rispetto all'incremento del tempo: al limite per l'intervallo di tempo che tende a zero si ha la rapidità di questa variazione.

Lo stesso ragionamento fatto per la velocità si può fare per l' accelerazione che dà la variazione della velocità riferita al tempo. L'accelerazione media è:



e quella istantanea:

Ma se ci ricordiamo che: v=dx/dt allora:

dove si è introdotta la notazione della derivata seconda rispetto alla variabile t.

Discutiamo ora le dimensioni della velocità e della accelerazione. La prima grandezza è il rapporto di uno spazio su di un tempo mentre l'accelerazione è il rapporto di una velocità su di un tempo e quindi:

Le unità di misura nel sistema internazionale saranno m/s e m/s/s mentre nel CGS saranno cm/s e cm/s/s rispettivamente.

Studiamo ora alcuni moti rettilinei semplici e cerchiamo di dare per ciascuno di essi l'equazione del moto, ossia l'equazione di x in funzione del tempo t.

I caso: Il punto è fermo, l'equazione che descrive la traiettoria, ossia le posizioni occupate al passare del tempo sono semplicemente:

Infatti, se al tempo iniziale to, che è l'istante di tempo cui noi cominciamo l'osservazione del moto, il punto era in xo, esso vi resta anche negli istanti successivi.

II caso: Moto uniforme. Il punto si muove a velocità costante:

Proviamo a scrivere come equazione del moto:

(*)

Vediamo se è vero. Notiamo che al tempo t=to, x=xo: non è altro che la posizione occupata al tempo iniziale dalla particella e che noi chiamiamo posizione iniziale. È quindi un termine necessario per avere il valore di xo al tempo zero. Se deriviamo l'espressione  (*) rispetto al tempo, otteniamo:

che dice cha la velocità della particella è costante ed è vo. Il contributo vo(t-to) rappresenta l'incremento della posizione al passar del tempo.

III caso: Moto uniformemente accelerato. Il punto si muove con una accelerazione costante

a=costante

Come sarà la velocità v e la posizione x? Proviamo con le due seguenti equazioni e vediamo se sono corrette:

 v = vo +ao (t-to)                                (*)
 x = xo + vo (t-to) + 1/2 ao (t-to)^2     (**)

Se utilizziamo le definizioni (*) e (**) di posizione x e di velocità v date sopra:

Derivando ancora

Le due equazioni (*),(**) sono quindi quelle che descrivono in modo corretto il moto uniformemente accelerato. Notiamo che i valori di x,v,a possono essere positivi o negativi. x è positivo o negativo a seconda della scelta dell’orientazione dell‘asse. Lo stesso vale per velocita’ ed accelerazione, se sono concordi o discordi con l’orientazione dell’asse.

Ovviamente il moto può avere accelerazione non costante, ma dipendente dal tempo: a=a(t). In questo caso la velocità è data dall’integrale:

Una volta calcolata la velocità in funzione del tempo, si puo’ calcolare la posizione in funzione del tempo si ha:

.

Domanda di teoria - moto coordinate cartesiane

Discutere il moto nello spazio in componenti cartesiane.

Per definizione, il vettore posizione rappresenta la posizione relativa del punto P rispetto al punto O scelto come origine. Il vettore spostamento è la variazione della posizione del punto da P a un punto P', senza curarci di come andiamo da un punto all'altro. È quindi un vettore che non dipende da come il punto si è mosso nello spazio tra la posizione  P e la  P'.

Nello spazio, la posizione di un punto in funzione del tempo la possiamo descrivere tramite il vettore posizione r(t) :

Per comodità in figura si sono rappresentate solo le due dimensioni x e y. Si sono indicate le posizioni P e P' del punto nei due istanti t e t’. Lo spostamento del punto da P a P' lo diamo tramite la differenza dei vettori posizione e quindi tramite un vettore spostamento:

.

La velocità media sarà definita come il rapporto tra il vettore spostamento Δr ed il tempo impiegato per compiere questo spostamento t’-t=Δt:

Notiamo che essendo, per definizione, il rapporto di un vettore per un scalare, la velocità è una grandezza vettoriale. Se l'intervallo Δt diventa molto piccolo si ottiene la velocità istantanea:

dove compare l'espressione della derivata.

Come abbiamo già fatto per il calcolo della somma dei vettori, passiamo ad utilizzare le componenti cartesiane per semplificare i calcoli. Un generico vettore lo possiamo pensare come la somma di tre pezzi:

Siccome i tre versori non cambiano al passare del tempo poiché si tiene fisso il riferimento, potranno cambiare solo le componenti x, y e z, ed infatti nella scrittura ne abbiamo già esplicitato la dipendenza come funzioni del tempo. Scriviamo allora immediatamente la velocità come la seguente derivata: 

Indico con:

le componenti della velocità lungo i tre assi. L'accelerazione è:

Il moto nello spazio, se lo pensiamo descritto mediante le tre componenti cartesiane diventa la composizione di tre moti lungo i tre assi cartesiani. Il moto lungo l' asse x non è altro che il moto della proiezione x(t), prorpio lungo quest'asse, e così per y e z. Tutto ciò che abbiamo visto per il moto lungo una dimensione e che abbiamo studiato in precedenza continua a valere per ciascuno dei tre assi. Quindi le equazioni per la velocità, per l'accelerazione e per la posizione che abbiamo già ricavato varranno per ciascuno dei tre moti lungo gli assi.

Facciamo un esempio, pensiamo ad una particella, inizialmente posta nell'origine del riferimento, sottoposta ad una accelerazione a diretta lungo l’asse y, ed avente una velocità iniziale v diretta lungo l’asse x. Non c’è accelerazione e velocità iniziale lungo l’asse z. Inoltre la posizione iniziale è nell'origine. Assumiamo to=0 il tempo iniziale, quando la particella è nell’origine.
Allora: vo=vo i, a=a j

Scriviamo le equazioni del moto uniformemente accelerato lungo i tre assi:

Il moto si svolge nel piano xy. Sommando i contributi per i vettori velocità e posizione:

Siamo ora in grado di analizzare il moto dei gravi in un piano verticale (x,y). Consideriamo il caso in cui vi sia solo presente l'accelerazione di gravità g lungo l'asse verticale y. Scegliamo l'asse y orientato verso l'alto (vedi figura).

Nella figura si vede una parte della traiettoria di un grave che parte dall'origine con una con una velocità iniziale di modulo vo. Esso è soggetto all'accelerazione di gravità g = - g j. g indica il modulo dell'accelerazione.
La traiettoria che descrive il pallone risulta essere una traiettoria parabolica. Scriviamo le equazioni per il moto lungo l'asse x e l'asse y: 

Quindi:

Da cui, se si ricava t dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda:

che è proprio  l'equazione di una parabola:

.

Domanda di teoria - dimensioni

Cosa sono le dimensioni e le equazioni dimensionali?

Quando studiamo un fenomeno dal punto di vista della  fisica studiamo le  grandezze fisiche . Esse sono tali  perché su di loro è possibile compiere delle misurazioni. È immediato quindi pensare alla  lunghezza come  grandezza fisica, perché nella pratica comune la misuramo con il metro. Ricordiamo che la misurazione è l`azione di confronto tra la grandezza fisica e la grandezza campione, che costituisce l'unità di misura di questa grandezza.
Oltre alla lunghezza, ache il tempo è un concetto comune. Il tempo diventa una grandezza fisica quanto confrontiamo un intervallo di tempo con, ad esempio, il periodo di oscillazione del pensolo. Possiamo prendere questo periodo come unità di misura: il tempo diventa così una grandezza fisica. La stessa cosa vale per la massa, se pensiamo alla sua misura con la bilancia. In questo caso il confronto avviene con masse campioni.

Vi sono però grandezze che si misurano indirettamente, come ad esempio la velocità. La velocità media sappiamo essere una distanza diviso il tempo impiegato a percorrerla. La misura sarà quindi ottenuta misurando la distanza, che è una lunghezza, e registrando il tempo con un cronometro. Il rapporto, per esempio in metri al secondo, ci darà la velocità. Per avere la  velocità si deve usare  lughezza e tempo. Anche l’accelerazione viene valutata con lunghezze e tempi.

Come nel linguaggio comune le dimensioni servono per descrivere gli oggetti (ad es.: altezza, larghezza, profondità di un tavolo, colore, materiale, etc.), così nella fisica si scelgono delle grandezze fisiche che sono considerate fondamentali. Esse sono nella cinematica la lunghezza ed il tempo. Se studiamo i fenomeni della meccanica, la  massa, la  lunghezza ed il  tempo; se studiamo i fenomeni elettromagnetici dobbiamo anche considerare la  carica elettrica. Se ci occupiamo di problemi termici dobbiamo utilizzare anche la  temperatura come grandezza fondamentale. Tutte le grandezze fisiche possono essere riferite a queste grandezze fondamentali che vengono chiamate dimensioni.

Si intende per  grandezza dimensionata una grandezza fisica che sia o una grandezza fondamentale o un prodotto di potenze di grandezze fondamentali.

Per esempio, l'accelerazione di gravita' g è dimensionalmente: 

Le unità di misura seguono di conseguenza: utilizzando il  metro per la lunghezza ed il  secondo per il tempo si ha  

Possono esistere diversi sistemi di misura: ricordiamo solo le unità di misura delle grandezze fondamentali meccaniche nel sistema SI (Sistema Internazionale) e nel CGS: in SI sono il  metro (m), il  secondo (s) ed il  kilogrammo (kg) mentre nel CGS sono il  centimetro (cm), il  secondo (s) ed il  grammo (g).
In fisica vi sono anche grandezze  adimensionate, esse sono dei numeri puri e provengono da rapporti tra grandezze dimensionate. Un esempio è il pi-greco che geometricamente è il rapporto tra la circonferenza ed il diametro.

Per spiegare che cosa è un’equazione dimensionale, facciamo il seguente esempio. Un’espressione della cinematica del moto rettilineo uniformemente accelerato è

  (1)

Ci possiamo chiedere se è dimensionalmente corretta. Supponiamo v e vo siano dellle velocità, a l'accelerazione e t un intervallo di tempo. Associamo a questa equazione, un’equazione dove ci siano le dimensioni delle grandezze in gioco:

                     

Le parentesi quadrate servono ad indicare che stiamo analizzando le dimensioni delle grandezze fisiche nelle parentesi. Sappiamo già che v e vo  sono due velocità, e che quindi hanno le stesse dimensioni: non ci resta che far vedere che il prodotto at ha le dimensioni di una velocità. Infatti è possibile sommare solo grandezze dello stesso tipo, come nel caso presente, velocità con velocità.
Quindi verifichiamo:

 L'equazione (1) è dimensionalmente corretta. Notiamo anche che i termini sommati nell’equazione dimensionale devono essere omogenei, ossia avere le stesse dimensioni. Ad esempio, possiamo sommare velocità con veloctià, ma non velocità con accelerazione.

Un uso delle equazioni fondamentali è mostrato dall’esempio seguente. Noi sappiamo che per tenere un oggetto in moto su di una circonferenza con velocità costante è necessaria una forza chiamata  forza centripeta. Quali sono le dimensioni della forza centripeta?

Pensiamo alla massa m come una pallina che ruota tenuta da una fune lunga R. Chiediamoci allora quali sono le grandezze  coinvolte nel problema: ci sono la  massa m che si muove su una circonferenza di raggio R con velocità v. La fune è la responsabile del moto circolare ed è lei che esercita la forza centripeta.
Proviamo a scrivere una equazione per la forza:

dove diciamo che la forza dipende dalla massa, dal raggio della traiettoria e dalla velocità ma con certi esponenti a,b,c che non conosciamo. Conosciamo però le dimensioni della forza, della velocità e del raggio e quindi possiamo scrivere la seguente equazione con le dimensioni:

da cui:

Ora confrontiamo gli esponenti della massa, della lunghezza e del tempo: .a=1,1=b+c,-2=-b, da cui: a=1,b=2,c=-1,  In conclusione: 

La forza centripeta può essere solo proprzionale alla massa, proporzionale al quadrato della velocità e inversamente proporzionale al raggio.