n.8 - due dischi

Osservazioni: non ci sono momenti torcenti tali da far variare il momento angolare lungo l'asse dei dischi.

Per quanto riguarda l'energia: quella che consideriamo è la parte legata alla rotazione e che viene dissipata dall'attrito. Per quanto riguarda l'energia potenziale inziale del disco 2, essa viene dissipata dall'urto anelastico col disco 1.

n.5 - la sabbia

Per tutta la scussione vedi il problema "disco e pallina"

n.13 - Esercizio con piano inclinato

Determinare l'accelerazione del centro di massa di un disco che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato.

Il disco rotola senza strisciare per via dell'attrito statico. L'attrito statico non è dissipativo e quindi posso applicare la conservazione dell'energia. Quando il centro di massa del disco scende di un tratto dh, il centro di massa si muove lungo il piano inclinato di un tratto dl. Si ha che dh = dl sin(theta).

Risolvete il problema usando la dinamica. 

Discussione sulle variazioni di energia

Consideriamo il caso di una massa che cada verticalmente nel campo del peso. Durante la caduta la massa varia la sua posizione, che può essere data dalla quota h in funzione del tempo. La velocità in modulo della particella sarà pari a dh/dt, dove con dh intendiamo la variazione del modulo di h.
Se la posizione varia di dh, anche l'energia potenziale dovrà cambiare.
Quale è la sua variazione? Se la posizione passa da h a h'=h+dh, l'energia poteziale passa da U=mgh a U'=mgh'. La variazione dell'energia potenziale è dU=mgdh.
Dato che vale la conservazione dell'energia e l'unica forza in gioco è il peso, la variazione dell'energia potenziale comporta un variazione uguale ma opposta dell'energia cinetica. Se l'energia potenziale diminuisce di una data quantità, l'energia cinetica deve aumentare della stessa quantità, se non ci sono presenti delle forze dissipative. Se l'energia potenziale aumenta, l'energia cinetica perde la stessa quantità.
In valore assoluto, la variazione dell'energia potenziale deve essere pari alla variazione dell'energia cinetica E e quindi dU=dE:

 -dU+dE = 0

Come scriviamo la variazione dell'energia cinetica E. Quando la velocità passa da v a v', l'energia cinetica diventa

E'=1/2 m v'^2=1/2 m (v+dv)^2=1/2 m [v^2+2vdv+(dv)^2]=E'+mvdv

La variazione dell'energia cinetica dE è quindi: dE=mvdv

 -dU+dE =   -mgdh + mvdv = 0

Divido per dt:
-mg dh/dt + m v dv/dt = - m g v + m v a = 0

Da cui

a=g

Abbiamo ricavato la dinamica discutendo come varia l'energia.

To use sound waves to measure temperature

"A sensor that uses sound waves to measure temperature could replace thermometers that lose accuracy in harsh environments such as nuclear power stations. Scientists at UK measurement institute the National Physical Laboratory (NPL) are using the long-established principle that sound travels faster through warm air to create a cheap and robust thermometer that doesn’t need recalibrating or replacing. They hope the device would be used to measure extremely high temperatures or in locations where it would be difficult to change the thermometer, such as in nuclear reactors."

Sensor uses sound waves for temperature measurement | News | The Engineer

Graphite oxides boost supercapacitors

"Researchers in the US have discovered a new form of carbon produced by "activating" expanded graphite oxide. The material is full of tiny nanometre-sized pores and contains highly curved atom-thick walls throughout its 3D structure. The team has also found that the material performs exceptionally well as an electrode material for supercapacitors, allowing such energy-storage devices to be used in a wider range of applications."

http://nanotechweb.org/cws/article/tech/45975

Attrito

Discutere l'attrito dinamico e statico.

Quando mettiamo due superfici a contatto si possono avere dei fenomeni di attrito. Il modello più usato per descrivere l’attrito è quello di dire che le superfici sono ruvide e così si “incastrano tra di loro”. Si distingue tra le forme d’attrito dinamico (detto anche cinetico) e statico. Iniziamo a discutere l’attrito cinetico, ossia quando c’è uno scorrimento  parallelo delle superfici a contatto. La normale N (azione normale del vincolo) è quindi perpendicolare allo spostamento. La forza d’attrito è data da: F=μN. Non posso scrivere i vettori perché F e N sono perpendicolari tra di loro. F è parallela allo spostamento e quindi con i vettori si scrive:

F=−μNu,

dove u è il vettore unitario, parallelo alla superficie con il verso del moto.

Il coefficiente è detto coefficiente di attrito dinamico. Se è presente l’attrito dinamico, l’energia non si conserva. Possiamo però applicare il teorema dell’energia cinetica che dice che la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze. Facciamo un esempio,  se lanciamo una massa su una superficie scabra orizzontale con una velocità iniziale v, vediamo che dopo aver percorso un certo tratto d, la massa si ferma. La sua energia cinetica iniziale 1/2  m v² è dissipata dal lavoro dell’attrito:

Variazione energia cinetica = energia cinetica finale iniziale − energia cinetica iniziale = 0 −1/2 m v²

= Lavoro forze = Lavoro di N + Lavoro attrito = Lavoro attrito.

Il lavoro della normale è nullo, il lavoro dell’attrito deve essere negativo, per dissipare l’energia cinetica. Esso è:

lavoro attrito =  − Fd = − μNd.

Notare che più è grande N e più c’è dissipazione. In questo esempio, se non ci sono altre forze, N è uguale a mg.
Attenzione però che non è sempre vero che N=mg poiché N è la reazione della superficie all'azione normale del corpo su di essa. Guardiamo la seguente figura: sulla massa m agiscono il peso e la forza F che preme il corpo sulla superficie orizzontale. La massa M agisce sul tavolo che reagisce con N che è pari a mg più F.

Se c'è l'attrito quindi, ricordiamo che nella formula si deve inserire N, controllando che N può essere diversa da mg. 

Passiamo ora a discutere dell’attrito statico. Consiste anch’esso in una forza parallela alla superficie che esiste anche quando il corpo è fermo. Attenzione però che può anche non esserci. Facciamo il seguente esempio. Immaginiamo una scatola posta su un piano orizzontate. Se alla scatola non applichiamo alcuna forza orizzontale, NON possiamo mettere l’attrito statico. Fattrito è nulla: se esso ci fosse, sarebbe l'unica forza orizzontale. Poiché l'oggetto non si muove, la presenta di Fattrito è vieteta dalla seconda legge di Newton. Immaginiamo però di tirare con una fune il blocco. Pensiamo che la fune sia orizzontale. Stiamo applicando una forza orizzontale. Se il blocco è fermo la forza d’attrito statico, anche lei orizzontale, deve essere pari a F applicata in modulo con verso opposto. Se cominciamo a tirare sempre più forte, vediamo che ad un certo punto la massa comincia a muoversi. Il valore massimo della forza che possiamo applicare senza provocare il moto della massa è il valore massimo sviluppato dall’attrito statico. Si può definire un coefficiente di attrito statico come: F=μN. Si dice quindi che l’attrito statico è F≤μN. Il coefficiente è diverso da quello dinamico.

Passiamo ora all’energia. Se tiriamo l’oggetto e vediamo che esso resta fermo, notiamo che non c’è variazione di energia cinetica. Sempre dal teorema dell’energia cinetica, la forza applicata F non lavora, la forza d’attrito statico non lavora.

L’attrito statico è importantissimo nel rotolamento dei corpi rigidi. 

Matrice d'inerzia

Discutere la matrice d'inerzia e definire gli assi principali d'inerzia.

In generale il vettore momento angolare non è parallelo al vettore velocità angolare. Tra di loro esiste una relazione matriciale che definisce la matrice d'inerzia nel seguente modo.

Dato un corpo di forma generica e un punto O, il legame tra il vettore L e il vettore velocità angolare ω è dato da una matrice. Se si cambia O, cambia anche la matrice. La matrice è detta matrice d’inerzia. I coefficienti    Ixx, Ixy etc. sono i coeffcienti d'inerzia. Essendo simmetrica, la matrice è sicuramente diagonalizzabile e possiede autovalori reali e una base ortonormale di autovettori. Possiamo perciò introdurre la seguente definizione di asse principale d’inerzia.

Si dice “asse principale d’inerzia” relativo a una certa matrice d’inerzia, un asse passante per O che ha la direzione di un autovettore della matrice.

Per una matrice i cui autovalori sono distinti, gli assi principali sono tre e sono tra di loro ortogonali.

n.11 - asta e due masse, momento angolare

Mostrare con un semplice esempio che il vettore momento angolare non è in generale un vettore parallelo al vettore velocità angolare.

Il moto di questo corpo rigido si dice di precessione, se la velocità angolare resta costante in direzione e modulo e se l'inclinazione dell'asta con l'asse di rotazione resta costante.

La piattaforma rotante Pasco

La piattaforma rotante Pasco

Scopo dell’esperienza è calibrare lo strumento. Lo strumento è una piattaforma della Pasco. La rotazione dell’asse della piattaforma è misurata con una cinghia di trasmissione. Un’apposita carrucola viene collegata alla base della piattaforma come nello schema di Figura 1. La piattaforma Pasco nel suo complesso è rappresentata dal cilindro con momento d’inerzia I_o.  Come si ricava I_piattaforma? Si applica la seconda legge della dinanica alla massa m appesa al filo inestensibile e la legge della rotazione alla carrucola e alla piattaforma. La puleggia di raggio r. Il filo mette in rotazione la piattaforma [1].

Fig.1 Schema dell’apparato sperimentale.

Abbiamo la massa appesa al filo m, l’inerzia alla rotazione della puleggia I_p, l’inerzia alla rotazione della piattaforma I_o, r raggio puleggia, R raggio della gola solidale con la piattaforma attorno su cui è avvolto il filo. Si applica poi anche l’equazione del moto di rotazione: 

che lega il momento torcente all’accelerazione angolare, per la piattaforma rotante e la puleggia.

Disegnamo le tensioni T e il peso su cilindro P, puleggia e massa (l’attrito e le forze di reazione vincolari non sono rappresentate in figura 2). La tensione della fune è diversa perché la puleggia ha massa. T e T’ sono i moduli delle due tensioni.

Fig.1 Peso e tensioni della fune

L’equazioni della dinamica rilevanti al nostro problema  per massa m, puleggia e cilindro, sono:

Si ha:                                 

                                                                   

Dato che misuriamo l’accelerazione angolare della piattaforma:

Chiamiamo:

 dove abbiamo assunto la puleggia come un disco. Si ha:

(*)

 L’andamento di questa funzione è mostrato nella figura seguente, per una data scelta di R ed I.:

Fig.3 Accelerazione angolare in funzione di m. Vicino alle curve si legge il valore del momento dell'attrito di corrispondente (in N.m).

 Data la soluzione teorica del problema, dall’Eq.(*) è possibile ottenere il momento d’inerzia I ed il momento dell’attrito, misurando l’accelerazione angolare  che si ha appendendo al filo tre o quattro masse diverse ed analizzando con un fit ottimale della curva teorica.

 Fig.4 Assumiamo una retta passante per 4 punti sperimentali.

Assumendo: 

e l’effetto del termine mR² trascurabile, gli andamenti in Fig.3 vengono approssimati con delle rette, come ad esempio in figura 4:

Noti g ed R, si possono stimare I^* come la pendenza della retta e il termine tau_f come l’intercetta con l’asse x. Infatti

  

Una volta noto il momento d’inerzia della piattaforma I^* e l’effetto dell’attrito, la piattaforma è stata calibrata. Sulla medesima piattaforma si procede alla misura del momento d’inerzia di un corpo che viene poggiato su di essa. Si possono ricavare i momenti di inerzia di oggetti posti sulla piattaforma per sottrazione.

Riferimenti

[1] vedi anche es.85, della dispensa PhysicsI-14. pdf oppure “Fisica I”, di A.Sparavigna, Edizioni Esculapio).