Consideriamo il caso di una massa che cada verticalmente nel campo del peso. Durante la caduta la massa varia la sua posizione, che può essere data dalla quota h in funzione del tempo. La velocità in modulo della particella sarà pari a dh/dt, dove con dh intendiamo la variazione del modulo di h.
Se la posizione varia di dh, anche l'energia potenziale dovrà cambiare.
Quale è la sua variazione? Se la posizione passa da h a h'=h+dh, l'energia poteziale passa da U=mgh a U'=mgh'. La variazione dell'energia potenziale è dU=mgdh.
Dato che vale la conservazione dell'energia e l'unica forza in gioco è il peso, la variazione dell'energia potenziale comporta un variazione uguale ma opposta dell'energia cinetica. Se l'energia potenziale diminuisce di una data quantità, l'energia cinetica deve aumentare della stessa quantità, se non ci sono presenti delle forze dissipative. Se l'energia potenziale aumenta, l'energia cinetica perde la stessa quantità.
In valore assoluto, la variazione dell'energia potenziale deve essere pari alla variazione dell'energia cinetica E e quindi dU=dE:
-dU+dE = 0
Come scriviamo la variazione dell'energia cinetica E. Quando la velocità passa da v a v', l'energia cinetica diventa
E'=1/2 m v'^2=1/2 m (v+dv)^2=1/2 m [v^2+2vdv+(dv)^2]=E'+mvdv
La variazione dell'energia cinetica dE è quindi: dE=mvdv
-dU+dE = -mgdh + mvdv = 0
Divido per dt:
-mg dh/dt + m v dv/dt = - m g v + m v a = 0
Da cui
a=g
Abbiamo ricavato la dinamica discutendo come varia l'energia.
