Physicists put a new twist on graphene

"Physicists in the US and UK have worked out why different samples of multilayer graphene can have very different electronic properties. The answer, according to the team, lies in the relative rotation between layers and the discovery could lead to a new way of controlling the electronic properties of the material."
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Poisson distribution

The Poisson distribution (or Poisson law of small numbers) is a discrete probability distribution that expresses the probability of a number of events occurring in a fixed period of time if these events occur with a known average rate and independently of the time since the last event. (1781–1840) and published, together with his probability theory, in 1838 in a paper focused on certain random variables N that count, among other things, the number of discrete occurrences (sometimes called “arrivals”) that take place during a time-interval of given length. If the expected number of occurrences in this interval is λ, then the probability that there are exactly k occurrences (k being a non-negative integer, k = 0, 1, 2, ...) is equal to


where:
e is the base of the natural logarithm (e = 2.71828...) 
k is the number of occurrences of an event - the probability of which is given by the function
k! is the factorial of k
λ is a positive real number, equal to the expected number of occurrences during the given interval. For instance, if the events occur on average 4 times per minute, and one is interested in the probability of an event occurring k times in a 10 minute interval, one would use a Poisson distribution as the model with λ = 10×4 = 40.The Poisson distribution can be applied to systems with a large number of possible events, each of which is rare. A classic example is the nuclear decay of atoms.

 Probability

The horizontal axis is the index k, the number of occurrences. The function is only defined at integer values of k. The connecting lines are only guides for the eye. Adapted for Wiki

Prodotto esterno di r e v

Domanda interessantissima di uno studente:
“Abbiamo visto studiando il moto circolare che wxr=v (per chi ha Firefox: la omega risulta visualizzata come  w). Questi tre vettori formano una terna di vettori ortogonali. Se guardo la figura, vedo il prodotto rxv parallelo ad w. Le dimensioni di rxv sono [L²/t] e quelle di w sono [1/t]. 

C’è una grandezza relativa al prodotto  rxv in qualche modo legata a w, di modo che rxv=cw  ? Che cosa è c e che dimensioni ha?"

La grandezza esiste e la vediamo più avanti. Ma proviamo a calcolare nel seguente modo. Pensiamo ad una particella di massa m che si muove su una circonferenza con velocita’ angolare w . Calcoliamo il prodotto, ricordando che wxr = v:

Per il moto circolare, c è r² che ha dimensioni [L²]. Più avanti studiamo L vettore che rappresenta il “momento angolare“ ed I il “momento d’inerzia” mr².

Balance scale

"The balance scale is such a simple device that its usage likely far predates the evidence. What has allowed archaeologists to link artifacts to weighing scales are the stones for determining absolute weight. The balance scale itself was probably used to determine relative weight long before absolute weight."
http://en.wikipedia.org/wiki/Weighing_scale

Oscillazione smorzata

Consideriamo una oscillazione smorzata. Vediamo come varia la funzione al variare del coefficiente di smorzamento, confrontandola con la pura oscillazione.

Il primo massimo (vedi figura) si sposta verso t=0 al crescere del fattore di smorzamento B. Le curve rosse sono a diversi valori crescenti di smorzamento. La curva verde è la funzione trigonometrica per A=1. Nella figura, le curve smorzate hanno B=omega/4.*i, con i da 1 a 8.
Calcoliamo la derivata per trovare il massimo

Il primo massimo (vedi figura) si sposta verso t=0 al crescere del fattore di smorzamento B. Si trova t risolvendo la funzione tan(omega*t)=omega/B.

Oppure lo si trova sul grafico.

Moti relativi

Derivazione di un vettore unitario e relazioni di velocita‘ e accelerazione tra riferimento fisso e ruotante.

Abbiamo visto discutendo la derivata della velocità che se u è un vettore unitario:

è un vettore perpendicolare (normale) a u. Il modulo di n è dato da:

Consideriamo il piano dell’angolo ed il vettore velocità angolare ad esso perpendicolare. Il vettore unitario ruota attorno ad esso, come in figura.

Possiamo quindi dire che:   .

I vettori unitari possono essere quelli che danno le direzioni dei tre assi cartesiani. Supponiamo un riferimento ruotante nello spazio con vettori unitari i’,j’,k’. Le derivate di questi vettori sono:

Prendiamo ora un riferimento fisso ed un riferimento solo ruotante con velocita’ angolare w . I riferimenti siano cartesiani. Per semplificare il calcolo pensiamo a scegliere le origini dei due riferimenti, O e O’, come coincidenti.

Fissato un punto P, il vettore posizione puo’ essere dato rispetto ad O oppure rispetto a O’ come:

Adesso calcoliamo la derivata rispetto al tempo del vettore posizione, ricordando che x,y,z sono funzioni del tempo, i,j,k, sono fissi, x’,y’,z’ sono variabili nel tempo ed infine i’,j’,k’ che ruotando sono anche loro funzioni del tempo.

La velocita' osservata nel sistema fisso è uguale alla somma della velocita' osservata nel sistema ruotante col prodotto esterno della velocita' angolare col vettore posizione.
Per le accelerazioni:

L'accelerazione osservata nel sistema fisso è la somma dell accelerazione osservata nel riferimento rotante con il termine di Coriolis e quello centripeto.

Undergraduates build power system for moon orbiter

Final-year engineering undergraduates from Warwick University are building the power system for a micro-satellite that will orbit the moon in 2014
Undergraduates build power system for moon orbiter | News | The Engineer

Accelerazione tangenziale e centripeta

Un oggetto si muove lungo una traiettoria curva con velocità che cambia sia in modulo che in  direzione. Ricordiamo che la velocita' ha direzione tangente la curva e quindi deve necessariamente cambiare direzione per seguire la traiettoria). Il vettore accelerazione a varia anche lui in direzione e modulo in ogni punto della curva.

Si  può scomporre in due vettori, come mostrato in figura nelle posizioni A, B e C: la componente centripeta (o normale) a_c diretta come il raggio di curvatura, raggio della circonferenza che meglio approssima localmente la curva. verso l’interno, e la componente tangenziale a_t, tangente alla curva. I vettori unitari u_t  e u_c sono perpendicolari.  Il vettore accelerazione può quindi essere scritto come

a = a_cu_c + a_t u_t

L’accelerazione centripeta è dovuta alla variazione della direzione del vettore velocità, il suo modulo è dato dalla  a_c = v²/r
L’accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità, il suo modulo è dato dalla a_t = dv / dt

Geometria differenziale delle curve

Tante cose che abbiamo visto oggi, sulla tangente la curva e la perpendicolare ad essa, che abbiamo detto "centripeta", sono parte della "geometria differenziale delle curve".
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_differenziale_delle_curve
Questo articolo di Wiki è molto complicato, però possiamo riconoscere una cosa vista stamattina: è il Sistema di Frenet. Esso è un riferimento mobile di n vettori unitari ed ortogonali e1(t),...en(t), dipendenti da t, che viaggiano sulla curva. Essi sono utili per descrivere il comportamento locale della curva nello spazio ad n-dimensioni. Con opportune derivazioni, si ottengono le curvature generalizzate.
In due dimensioni:
Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet e1(t) è la tangente alla curva al tempo t, mentre il vettore e2(t), detto vettore normale è il vettore normale a e1(t), nella direzione in cui curva. La curvatura 1/κ. indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco è chiamato raggio di curvatura R=1/κ.. Ad esempio, una circonferenza di raggio r ha curvatura costante κ=1/r, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a e1(t) e di raggio 1/κ. . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo t "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda della curva  nel punto.
I vettori unitari di Frenet li abbiamo chiamati ut e uc.

Moto decelerato

Le due note precedenti sull'inversione di spinta e sul "thrust reversal" derivano da una interessante domanda sulla decelerazione da parte di uno studente.
Nell'esempio fatto a lezione abbiamo visto un oggetto che viagga su una linea retta con una certa vo; ad un dato istante, l'oggetto viene decelerato con a costante. Sviluppando i conti, abbiamo visto che esso decelera, si ferma e poi torna indietro accelerando in verso opposto alla vo iniziale.
Pensiamo a un'automobile che viaggia ad una certa velocita': se applichiamo una decelerazione coi freni, essa si ferma. Una volta che l'auto si è fermata, i freni non agiscono più, e quindi l'auto non procede "all'indietro". Consideriamo invece un jet con la possibilità di "inversione di spinta". Quando atterra ha una velocita' vo. Il jet viene decelerato con l'inversione di spinta dei motori. Quando il jet ha sufficientemente ridotto la velocità, intervengono i freni. Se non si toglie l'inversione di spinta, il jet decelera, si ferma e poi torna indietro.