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Tuesday, 30 April 2013

1 Gal

Source Wikipedia: "The gal, sometimes called galileo, (symbol Gal) is a unit of acceleration used extensively in the science ofgravimetry. The gal is defined as 1 centimeter per second squared (1 cm/s2). The milligal (mGal) and microgal (µGal) refer respectively to one thousandth and one millionth of a gal. The gal is not part of the International System of Units (SI). However, in 1978 the CIPM decided that it was permissible to use the gal "with the SI until the CIPM considers that [its] use is no longer necessary." The gal is a derived unit, defined in terms of the centimeter-gram-second (CGS) base unit of length, the centimeter, and the second, which is the base unit of time in both the CGS as well as the modern SI system. In SI base units, 1 Gal is precisely equal to 0.01 m/s2.The acceleration due to Earth’s gravity (see Standard gravity) at its surface is 976 to 983 Gal, the variation being due mainly to differences in latitude and elevation. Mountains and masses of lesser density within the Earth's crust typically cause variations in gravitational acceleration of tens to hundreds of milligals (mGal). The gravity gradient (variation with height) above Earth's surface is about 3.1 µGal per centimeter of height (3.1×10−6 s–2), resulting in a maximum difference of about 2 Gal (0.02 m/s2) from the top of Mount Everest to sea level."

Domanda di teoria - momento d'inerzia

Mostrare come si calcola il momento angolare e il momento d'inzerzia in un caso semplice.

Scegliamo di calcolare il momento d'inerzia di un disco rispetto a un asse perpendicolare ad esso e passante per il centro del disco.


gravimeter is an instrument used  for measuring the local gravitational field of the Earth. "A gravimeter is a type of accelerometer, specialized for measuring the constant downward acceleration of gravity, which varies by about 0.5% over the surface of the Earth. Though the essential principle of design is the same as in other accelerometers, gravimeters are typically designed to be much more sensitive in order to measure very tiny fractional changes within the Earth's gravity of 1 g, caused by nearby geologic structures or the shape of the Earth and by temporal tidal variations. This sensitivity means that gravimeters are susceptible to extraneous vibrations including noise that tend to cause oscillatory accelerations. In practice this is counteracted by integral vibration isolation and signal processing. The constraints on temporal resolution are usually less for gravimeters, so that resolution can be increased by processing the output with a longer "time constant". Gravimeters display their measurements in units of gals, instead of ordinary units of acceleration. Gravimeters are used for petroleum and mineral prospecting, seismology, geodesy, geophysical surveys and othergeophysical research, and for metrology." More at

"The geoid, simply stated, is the shape that the surface of the oceans would take under the influence of gravity alone. All points on that surface have the same scalar potential - there is no difference in potential energy between any two. In that idealized situation, other influences such as winds due to solar heating, and tides have no effect. The surface of the geoid is farther away from the center of the earth where the gravity is weaker, and nearer where it is stronger. The differences in gravity, and hence the scalar potential field, arise from the uneven distribution of the density of matter in the earth.Specifically, the geoid is the equipotential surface that would coincide with the mean ocean surface of the Earth if the oceans and atmosphere were in equilibrium, at rest relative to the rotating Earth,[1] and extended through the continents (such as with very narrow canals). According to Gauss, who first described it, it is the "mathematical figure of the Earth", a smooth but highly irregular surface that corresponds not to the actual surface of the Earth's crust, but to a surface which can only be known through extensive gravitational measurements and calculations. Despite being an important concept for almost two hundred years in the history of geodesy and geophysics, it has only been defined to high precision in recent decades, for instance by works of Petr Vaníček, and others. It is often described as the true physical figure of the Earth,[1] in contrast to the idealized geometrical figure of a reference ellipsoid." More at Wikipedia:

Thursday, 25 April 2013

Domanda di teoria - Legge di Gauss

Discutere la legge di Gauss.

La legge di Gauss riguarda il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa.
Prima di tutto definiamo il flusso del campo elettrico come il limite di una sommatoria.

Assumiamo sempre la normale n diretta verso l'esterno della superficie chiusa.
Facciamo un calcolo specifico prendendo una superficie sferica con al suo centro una carica puntiforme positiva.

Se la carica è negativa il flusso è negativo (la normale alla sfera è opposta al verso del campo E).

Se la carica è esterna alla superficie chiusa, per ogni angolo solido infinitesimo che prendo, posso ripetere la dimostrazione fatta sopra ed ottenere coppie di flussi che sono uguali in modulo ma opposti in segno. Quindi, sommando su tutto l'angolo solido che sottende la superficie trovo un flusso nullo. La cosa è diversa se la carica si trova dentro la superficie generica.

Ora i flussi sono uguali sia in modulo che in segno. Quindi sommando sull'angolo solido totale, che ora è di 4 pigreco, trovo che il flusso è pari alla carica Q divisa per la costante dielettrica del vuoto.

Sunday, 21 April 2013

Domanda di teoria - Potenziale

Discutete il potenziale del campo elettrostatico.

Immaginiamo di avere una distribuzione di carica nello spazio. Essa può essere costutita da un certo numero di cariche puntiformi distribuite in certi punti dello spazio. Assumiamo che le cariche non si muovano. Noi sappiamo che una signola carica puntiforme produce un campo coulombiano che ha la proprietà di essere conservativo. Il campo risultante è la somma vettoriale di tutti i campi generati dalle cariche. Vale inoltre la sovrapposizioned egli effetti e quindi il campo elettrico risultante è anch'esso un campo conservativo. Questo deriva dal fatto che il lavoro del campo risultante è la somma dei lavori dei singoli campi.
Dopo questa doverosa premessa, consideriamo il campo risultante E ed una caricha di prova qo che viene spostata in esso.

Wednesday, 17 April 2013

Domanda di teoria - problema a due corpi

Discutere il moto relativo di due corpi che interagiscono gravitazionalmente e determinare la loro traiettoria relativa.

Consideriamo due masse a distanza r che interagiscono con la legge della gravitazione universale

Prediamo un'origine O per definire le posizioni dei due corpi. Prendiamo anche il vettore posizione relativo r, come il vettore che va dalla posizione della massa 2 alla posizione della 1 (vedi figura). Consideriamo anche il versore ur di questo vettore r. Scriviamo le equazioni di Newton dei due corpi:  troviamo quello che viene definito come il
Iniziamo a somma le due equazioni: otteniamo un equazione che dice che esiste un punto, il centro di massa, che ha velocità costante: 
Le due masse si muovono attorno al centro di massa che si muove nello spazio a velocità costante in modulo, direzione e verso. Se immaginiamo che le due masse siano il sole e un suo pianeta, questo vuol dire che il sistema sole/pianeta si muove nel cosmo. Se non ci fossero forze esterne, ma solo l'interazione sole/pianeta, questa velocità sarebbe costante.
Vediamo ora come è il moto relativo sottraendo le equazioni:

Abbiamo così trovato che il moto è descritto da una conica, in accordo con la prima legge di Keplero che dice che l'orbita dei  pianeti è un'ellisse con il sole come fuoco.

Domanda di teoria - energia potenziale gravitazionale

Discutere il campo gravitazionale e la sua energia potenziale.

Thursday, 11 April 2013


Da Wikipedia

The Moon is 0.0026 ± 0.0001 AU from the Earth
Mercury is 0.39 ± 0.09 AU from the Sun
Venus is 0.72 ± 0.01 AU from the Sun
The Earth is 1.00 ± 0.02 AU from the Sun
Mars is 1.52 ± 0.14 AU from the Sun
Ceres is 2.77 ± 0.22 AU from the Sun
Jupiter is 5.20 ± 0.25 AU from the Sun
Saturn is 9.58 ± 0.53 AU from the Sun
Uranus is 19.23 ± 0.85 AU from the Sun
The New Horizons spacecraft is about 22 AU from the Sun (as of 2012), as it makes its way to Pluto for a flyby.
Neptune is 30.10 ± 0.34 AU from the Sun
The Kuiper belt begins at roughly 30 AU [51]
Pluto is 39.3 ± 9.6 AU from the Sun
Beginning of the scattered disk at 45 AU (10 AU overlap with Kuiper Belt)
Ending of Kuiper belt at 50-55 AU
Eris is 68.01 ± 29.64 AU from the Sun
90377 Sedna is currently (as of 2012) about 87 AU from the Sun
94 AU: termination shock between solar winds/interstellar winds/interstellar medium
96.7 AU: the distance of dwarf planet Eris from the Sun, as of 2009. Eris and its moon are currently the most distant known objects in the Solar System apart from long-period comets and space probes.
100 AU: heliosheath
122 AU: as of September 2012, Voyager 1 is the furthest human-made object from the Sun; it is currently traveling at about 3½ AU/yr.
100-1000 AU: mostly populated by objects from the scattered disc
1000-3000 AU: beginning of Hills cloud/inner Oort cloud
20,000 AU: ending of Hills cloud/inner Oort cloud, beginning of outer Oort cloud
50,000 AU: possible closest estimate of the outer Oort cloud limits (0.8 ly)
100,000 AU: possible farthest estimate of the outer Oort cloud limits (1.6 ly)
230,000 AU: maximum extent of influence of the Sun's gravitational field (Hill/Roche sphere)—beyond this is true interstellar medium. This distance is 1.1 parsecs (3.6 light-years).
Proxima Centauri (the nearest star to Earth, excluding the Sun) is ~268 000 AU from the Sun

Domanda di teoria - teorema del momento angolare per una particella

Discutere il teorema del momento angolare per una particella

Il momento angolare è una grandezza fisica importante perché è legata alla simmetria per rotazione nello spazio. La grandezza momento angolare puo’ diventare una costante del moto, ossia diventare una grandezza che resta costante anche se posizione e velocità della particella cambiano.
Il momento angolare di una particella resta costante se non interviene il momento di una forza a variarlo.

Il momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) è definito come:

dove m è la massa, v la velocita‘, r il raggio vettore (o vettore posizione) rispetto al polo O. p è la quantità di moto. Nel SI, si misura in newton metro secondo (N·m·s or kg·m2s-- 1).
Il polo è fondamentale nel calcolo del momento angolare. Se cambiamo la posizione del polo il valore di L cambia. La dipendenza dal polo nasce dal vettore posizione (raggio vettore) che è ovviamente diverso se cambiamo origine.

La relazione tra L’ con polo in O’ e L con polo in O è la seguente:

con o vettore da O a O'.
Il momento della forza (in Inglese, torque) è definito come:

Anche il momento della forza dipende dal polo scelto. Nei testi in italiano si preferisce usare M vettore per indicare il momento della forza. Nella letteratura anglosassone si preferisce tau vettore.
Il modulo del momento della forza è il modulo della forza moltiplicato per il braccio (la distanza perpendicolare della direzione della forza dal polo O). L’unita’ di misura SI è newton metro.(N m).
Se il polo di riferimento cambia, anche il torque cambia:

Valutiamo la derivata rispetto al tempo di L:

Questo è il teorema del momento angolare per una particella. La derivata rispetto al tempo del momento angolare è il momento della forza, se il polo rispetto a cui sono calcolati è fisso in un riferimento inerziale. Abbiamo infatti usato la definizione della velocità come la variazione nel tempo del vettor posizione, v=dr/dt (polo fisso), e la II di newton ma=F (riferimento inerziale).

Il momento della forza è zero se la forza è nulla oppure essa è parallela al raggio vettore:

Il momento angolare è allora costante in modulo direzione e verso.
Facciamo un esempio di conservazione del momento angolare. Prendiamo una massa attaccata ad una corda ruota su un piano orizzontale privo di attrito. La corda passa attraverso un buco nel piano. La massa ruota sulla circonferenza di raggio r1 alla velocità angolare w 1. Tirando la fune e riducendo così il raggio, la velocita’ angolare aumenta. Il raggio diventa r2 e la velocita’ angolare w 2.

La forza che tiene la palla sull'orbita è la tensione della fune ed è pari alla forza centripeta

poiché v=w r. La forza è a momento nullo (forza centripeta è parallela al raggio). Si conserva quindi il momento angolare:

da cui:

Accorciando il filo, aumenta la velocità della particella.
Questo è anche quello che capita alla velocita’ dei pianeti durante la loro rivoluzione attorno al sole. La forza gravitazionale è una forza centrale e si comporta come la forza centripeta dell’esempio. Al perielio, il pianeta si muove più velocemente che all’afelio, ma il momento angolare resta costante.