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Monday, 8 April 2013

Domanda di teoria - 2013 - oscillatore smorzato

Discutere l’oscillatore smorzato.
Un oscillatore armonico è un sistema che, se spostato dalla sua posizione di equilibrio, sperimenta una forza di richiamo F proporzionale allo spostamento x secondo la legge di Hooke: F=−kx dove k è una costante positiva. Se F è l'unica forza che agisce sul sistema, il sistema è detto oscillatore armonico semplice, ed è sottoposto al moto armonico semplice: oscillazioni sinusoidali attorno al punto di equilibrio, con un’ampiezza costante e una frequenza costante (che non dipende dall'ampiezza). Se una forza di attrito (smorzamento) proporzionale alla velocità è anche presente, l'oscillatore armonico è descritto come un oscillatore smorzato. In tale situazione, la frequenza delle oscillazioni è più piccola rispetto al caso non smorzato, e l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce con il tempo. Se una forza esterna dipendente dal tempo è presente, l'oscillatore armonico è descritto come un oscillatore forzato. L'oscillatore armonico semplice non ha alcuna forza motrice e nessun attrito (smorzamento), quindi la forza netta è solo F=−kx. Usando la seconda legge di Newton: F=ma, otteniamo:

Definiamo ωo2 =k/m, l’equazione si scrive allora:

La soluzione generale è: x=Acos(ωot+ф), dove l’ampiezza è A e la fase iniziale ф, che soddisfano le condizione iniziali. Un oscillatore armonico forzato è dato dall’equazione: 


.dove  A0 è l’ampiezza della forzante ed ωf  è la pulsazione della forzante.
Lo smorzamento può essere modellizzato come una forza sincrona alla velocità ma opposta in verso. Per smorzamento si può quindi assumere la forza F legata a v da F=−cv dove c è il coefficiente di attrito viscoso, dato in newton-secondo/metro.
 
Nell’oscillatore smorzato la massa è attaccata ad una molla e ad uno smorzatore (damper). Nell’equazione seguente, il coefficiente di smorzamento è rappresentato da b.

Un oscillatore armonico smorzato soddisfa l’equazione:

 

 dove b è determinato sperimentalmente dalla relazione  F = − bv. Un esempio è un oscillatore posto sott’acqua, se si suppone che la forza esercitata dall’acqua sia lineare in v.  La pulsazione dell’oscillatore smorzato è: 

 dove Ξ=b/2m. La pulsazione data dalla radice quadrata si dice pulsazione ridotta.
Per trovare questo risultato applichiamo il metodo di soluzione dell’equazione tramite i numeri complessi. Proponiamo che la soluzione sia:



Sostituisco nell’eq(*):


Per essere soddisfatta l’equazione, il numero complesso in parentesi quadra deve essere nullo. Devono essere nulle quindi la parte reale e la parte immaginaria.



.da cui si ricava che il coefficiente di smorzamento dell ampiezza e: μ=b/(2m).

Inoltre

da cui la pulsazione ridotta data sopra.
Notiamo che quest'ultima equazione può dar luogo a pulsazioni reali oppure a pulsazioni immaginarie.
Nel caso che   ωo  è maggiore di b/2m, allora    ω è reale e la soluzione è un'oscillazione smorzata. Se invece   ωo  è minore o uguale a b/2m, allora    ω è complessa e pari a   ω =i q; la soluzione è un esponente decrescente e si dice che il moto e "sovrasmorzato".