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Thursday, 11 April 2013

Domanda di teoria - riferimenti inerziali e non

Discutere cosa si intendere per sistema inerziale e sistema accelerato.

In fisica, un sistema inerziale (anche sistema di riferimento inerziale o sistema di riferimento galileiano) è un riferimento in cui si vede verificato il primo principio della dinamica (principio di inerzia). In questo sistema viene verificata la Seconda Legge di Newton, senza la nacessità di introdurre delle forze fittizie per giustificare il moto delle masse. Inoltre, tutti i sistemi inerziali sono in uno stato di moto rettilineo l'uno rispetto all'altro, non stanno quindi accelerando l'uno rispetto all'altro. Un sistema di riferimento non inerziale è un sistema accelerato rispetto ad uno inerziale. Con questo si intende che il riferimento non inerziale è un sistema che accelera o ruota, o entrambe le cose, rispetto all’inerziale.
Le misure fatte in un sistema inerziale possono essere convertite nelle misure fatte in un altro riferimento inerziale da una semplice trasformazione (le trasformazioni di Galileo nella fisica newtoniana e le trasformazioni di Lorentz nella relatività speciale). Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali. In un riferimento non inerziale, le leggi della fisica dipendono dall'accelerazione di tale riferimento, e quindi le forze fisiche devono essere integrate da forze fittizie. In sintesi, in un sistema di riferimento inerziale, le leggi della meccanica prenderanno il loro aspetto più semplice.
In un sistema inerziale, la prima legge di Newton (la legge di inerzia), è soddisfatta: Qualsiasi movimento libero ha una velocità costante in modulo e direzione. La seconda legge di Newton per una particella assume la forma:

F = m a

con F la forza risultante (un vettore), m la massa di una particella e a accelerazione della particella (un vettore), che sarebbe misurata da un osservatore a riposo nel riferimento. La forza F è la somma vettoriale di tutte le "reali" forze sulla particella (elettromagnetica, gravitazionale, nucleare e così via). Al contrario, la seconda legge di Newton in un sistema di riferimento accelerato, assume sempre la forma:

F'= m a’

che ha lo stesso aspetto come quella che si ha in un sistema inerziale, ma ora la forza F' non è solo la risultante di F, perché essa contiene ulteriori componenti.  Ad esempio, in un riferimento che ruota a velocità angolare Ω costante attorno ad un asse fisso, si ha:

F'= F 2m Ω x v'm Ω x (Ω x r')

dove la rotazione del riferimento è espressa dal vettore Ω, che indica la direzione dell'asse di rotazione, e con grandezza pari all’incremento dell’angolo di rotazione. Il  simbolo x indica il prodotto vettoriale tra due vettori. Il vettore r' individua la posizione del corpo e vettore v' è la velocità del corpo secondo un osservatore rotante (diversa dalla velocità v vista da un osservatore inerziale). I termini in più in F' sono  "fittizi" (il primo termine supplementare è la forza di Coriolis, la seconda la forza centrifuga).Questi termini hanno la seguente proprietà: svaniscono quando Ω = 0, cioè, sono pari a zero per un sistema inerziale (il che, ovviamente, non ruota).

Tutti gli osservatori concordano sulle forze reali, F; solo gli osservatori non inerziali hanno bisogno di forze fittizie. Le leggi della fisica nel sistema inerziale sono più semplici perché le forze fittizie non sono presenti.

Al tempo di Newton, le stelle fisse erano state scelte come riferimento inerziale, dato che si presumevano in quiete rispetto allo spazio assoluto. In riferimenti che erano a riposo rispetto alle stelle fisse o in traslazione uniforme rispetto a queste stelle, valevano le leggi di Newton del moto. Al contrario, in riferimenti accelerati rispetto alle stelle fisse,  le leggi del moto non hanno la loro forma più semplice, ma devono essere integrate con l'aggiunta di forze fittizie. Ai giorni nostri il concetto di sistemi inerziali di riferimento non è più legato a uno delle stelle fisse o allo spazio assoluto. Piuttosto, l'identificazione di un sistema inerziale si basa sulla semplicità delle leggi della fisica. In particolare, l'assenza di forze fittizie è la loro proprietà di identificazione.

Discutiamo ora le trasformazioni da un sistema ad un altro, secondo Galileo.


Prendiamo un sistema fisso xyz ed uno mobile x’y’z'. Ricordiamo che i vettori posizione soddisfano la regola della somma vettoriale. Derivando la somma rispetto al tempo otteniamo che la velocità v di un punto P osservata nel sistema fisso xyz è uguale alla somma della velocità v’ osservata in x’y’z' più la velocità V del riferimento x'yz''.

.v=v’+V (*)

Supponiamo che V sia costante: se deriviamo rispetto al tempo le velocità vediamo che

a=a’

Vediamo quindi la stessa accelerazione in xyz ed in x’yz'’. Quindi per la legge di Newton:

F=ma=ma’

Adesso immaginiamo che x’yz'’ si muova accelerando con una accelerazione A rispetto ad xyz. Derivando la (*) si ha:

 a=a’+A

E quindi la legge di Newton diventa, F=ma=ma’+mA, F−mA=ma’

Facciamo un esempio. Un oggetto viene lasciato cadere all’interno di un vagone che si muove accelerando.



Un osservato fermo vicino alla strada ferrata, vede l’oggetto cadere secondo la verticale sotto l’effetto della gravità. Un osservatore sul vagone invece lo vede cadere verso la parte posteriore del vagone. Egli pensa che sull’oogetto agiscono due forze: la gravità ed una “attrazione” da parte della parete di fondo.



Ecco che per l’osservatore sul sistema accelerato compare la forza fittizia F(fittizia)=-mA.
Se abbiamo una massa vincolata al soffitto del vagone con una fune, all’osservatore sul vagone che accelera, la fune appare avere un’inclinazione rispetto alla verticale.


L’osservatore pensa che la massa sia in equilibrio sotto l’effetto della gravità, della tensione del filo e dell’attrazione della parete di fondo. Un osservatore fisso rispetto alla strada ferrata vede invece il filo inclinato perché la tensione della fune deve avere una componente orizzontale, tale da dare alla massa m un’accelerazione orizzontale pari ad A.