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Wednesday, 10 April 2013

Domanda di teoria - velocità e accelerazione coord polari


Discutere velocità e accelerazione in coordinate polari.
  
Abbiamo discusso la velocità e l’accelerazione secondo le coordinate cartesiane ed anche intrinsecamente alla traiettoria. Ora discutiamo come si scrivono utilizzando un riferimento polari.
Immaginiamo di avere una particella che si muove su una certa traiettoria. Noi sappiamo che la sua velocità, come vettore, deve essere tangente la traiettoria. Passiamo ora a scomporre questa velocità secondo due direzioni, che sono quella radiale, ossia del raggio vettore che va dal polo O alla posizione P della particella, e quella trasversa, che corrisponde all’incremento dell’azimut, l’angolo che c’è la direzione radiale e l’asse di riferimento OX. Notiamo che queste direzioni NON sono legate alle direzioni intrinseche alla traiettoria (tangente e centripeta). La direzione radiale e quella trasversa sono tra di loro perpendicolari.


Dato che le due direzioni, radiale e trasversa, sono perpendicolari l’una all’altra, abbiamo che la velocità ha due componenti: quella radiale e quella trasversa. Ossia la velocità della particella è un vettore somma di due vettori componenti come nella figura seguente:


 Dimostriamo che:


Indichiamo in una figura le direzioni del vettori unitari e scriviamo come si può esprimere il raggio vettore da O a P secondo. Esso è il prodotto del modulo r, distanza di P da O, e del suo vettore unitario (versore).


 Deriviamo il raggio vettore secondo il tempo.


Che è ciò che volevamo dimostrare. Abbiamo utilizzato la derivata del versore radiale. Ricordiamoci che la derivata di un vettore che ha  modulo costante è sempre un vettore perpendicolare al vettore da derivare. La derivata del versore radiale è quindi pari al versore trasverso, moltiplicato per la derivata dellìangolo rispetto al tempo. Quanto vale la derivata del versore trasversale? Vediamolo nella seguente figura.



La derivata del versore trasverso deve essere un vettore a esso perpendicolare. E' quindi il versore radiale, cambiato di segno, moltiplicato per la derivata dell'angolo rispetto al tempo.
Utilizzando questo risultato, svolgiamo i calcoli:

Quindi abbiamo che: