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Saturday, 26 March 2011

Moti relativi


Derivazione di un vettore unitario e relazioni di velocita‘ e accelerazione tra riferimento fisso e ruotante.
Abbiamo visto discutendo la derivata della velocità che se u è un vettore unitario:


è un vettore perpendicolare (normale) a u. Il modulo di n è dato da:


Consideriamo il piano dell’angolo ed il vettore velocità angolare ad esso perpendicolare. Il vettore unitario ruota attorno ad esso, come in figura.


Possiamo quindi dire che:   .
I vettori unitari possono essere quelli che danno le direzioni dei tre assi cartesiani. Supponiamo un riferimento ruotante nello spazio con vettori unitari i’,j’,k’. Le derivate di questi vettori sono:


Prendiamo ora un riferimento fisso ed un riferimento solo ruotante con velocita’ angolare w . I riferimenti siano cartesiani. Per semplificare il calcolo pensiamo a scegliere le origini dei due riferimenti, O e O’, come coincidenti.
Fissato un punto P, il vettore posizione puo’ essere dato rispetto ad O oppure rispetto a O’ come:



Adesso calcoliamo la derivata rispetto al tempo del vettore posizione, ricordando che x,y,z sono funzioni del tempo, i,j,k, sono fissi, x’,y’,z’ sono variabili nel tempo ed infine i’,j’,k’ che ruotando sono anche loro funzioni del tempo.


La velocita' osservata nel sistema fisso è uguale alla somma della velocita' osservata nel sistema ruotante col prodotto esterno della velocita' angolare col vettore posizione.
Per le accelerazioni:


L'accelerazione osservata nel sistema fisso è la somma dell accelerazione osservata nel riferimento rotante con il termine di Coriolis e quello centripeto.