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Wednesday, 23 March 2011

Geometria differenziale delle curve

Tante cose che abbiamo visto oggi, sulla tangente la curva e la perpendicolare ad essa, che abbiamo detto "centripeta", sono parte della "geometria differenziale delle curve".
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_differenziale_delle_curve
Questo articolo di Wiki è molto complicato, però possiamo riconoscere una cosa vista stamattina: è il Sistema di Frenet. Esso è un riferimento mobile di n vettori unitari ed ortogonali e1(t),...en(t), dipendenti da t, che viaggiano sulla curva. Essi sono utili per descrivere il comportamento locale della curva nello spazio ad n-dimensioni. Con opportune derivazioni, si ottengono le curvature generalizzate.
In due dimensioni:
Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet e1(t) è la tangente alla curva al tempo t, mentre il vettore e2(t), detto vettore normale è il vettore normale a e1(t), nella direzione in cui curva. La curvatura 1/κ. indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco è chiamato raggio di curvatura R=1.. Ad esempio, una circonferenza di raggio r ha curvatura costante κ=1/r, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a e1(t) e di raggio 1/κ. . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo t "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda della curva  nel punto.
I vettori unitari di Frenet li abbiamo chiamati ut e uc.