Fermi Telescope and the dark matter

"New results from NASA's Fermi Gamma-Ray Space Telescope appear to confirm a larger-than-expected rate of high-energy positrons reaching the Earth from outer space. This anomaly in the cosmic-ray flux was first observed by the Italian-led PAMELA spacecraft in 2008 and suggests the existence of annihilating dark-matter particles. Physicists believe that about 80% of the mass in the universe is in the form of a mysterious substance known as dark matter. ... researchers are attempting to find direct evidence of it on Earth using either heavily shielded underground detectors or with particle accelerators. But they also have a third, less direct, option – using satellites or balloon-based instruments to detect the particles that some theories predict are created in space when two dark-matter particles collide and annihilate."

Has Fermi glimpsed dark matter? - physicsworld.com

Telescope optics set to aid gravitational detection

"A British team is designing the optics for a telescope that will be able to detect the gravitational effects of violent cosmic events, such as when two black holes collide.
The €790m (£688m) Einstein Telescope should be completed by 2025, by which time it will be capable of detecting gravitational waves around 100 orders of magnitude fainter than current devices can." Telescope optics set to aid gravitational detection News The Engineer

Asta e fune

One end of a uniform beam weighing 30N and 1 m long is attached to a wall with a hinge. The other end is supported by a wire. Find the tension of the rope. What is the action on the wall?

A+T+W=0  (somma vettoriale)

r×W+2r×T=0 (polo in O)

Momento del peso = L m g sin 60°/2

Momento tensione fune = LT sin 30°

  L m g sqrt(3) / 4 = L T /2

   T = 2mg/sqrt(3)

A_x= T cos 60° = mg  ;  A_y= mg-T sin60°=mg-mg/sqrt(3)

n.10 - disco e asta

Un perno P passante per il centro del disco (vedi la figura) permette al disco di ruotare liberamente nel piano della figura che è un piano verticale. Il disco ha raggio b e la sua massa  è m₁ . Una sbarra omogenea e di lunghezza L è saldata al bordo del disco. La sbarra ha la direzione della lunghezza perpendicolare al bordo del disco e si distende solo nel piano del disco. La sua massa è m₂.

Trovare il momento d’inerzia del sistema (disco e sbarra) rispetto all’asse del perno, ossia l’asse perpendicolare al disegno e passante per il centro del disco.

Se il sistema ruota, che direzione ha il momento angolare?

Calcolate l’accelerazione angolare del sistema, quando viene rilasciato dalla posizione mostra in figura.

Calcoliamo il momento d’inerzia ricordando che esso è una quantità additiva. Dato che conosciamo il momento d’inerzia del disco: ½ m₁b², a questo basta aggiungere il momento d’inerzia dell’asta che calcoliamo nel seguente modo. Prendiamo un asse x perpendicolare al perno e diretto lungo l’asta. Supponiamo una piccola massa lunga dx, dm=ρdx, dove ρ è la densità dell’asta pari a m₂/L. Quindi

Discutiamo ora il momento angolare con ω avente la direzione dell’asse del perno, poiché l’asse del perno è quello di rotazione, come ci dice il problema. Facciamo sempre riferimento alla figura usata per calcolare il momento di'inerzia. L'asse di rotazione è l'asse P e usiamo per il calcolo il polo O (il centro del disco) in figura.

Si applica quindi la relazione Iα=τ al sistema.  Il sistema ruota attorno al punto fisso P. Le forze esterne sono l’azione del  sostegno del perno e il peso del disco e dell’asta. Poiché il peso del disco è applicato nel centro del disco , se prendiamo questo centro come polo per il calcolo dei momenti, il peso del disco non ha momento, come l’azione del supporto del perno. L’unica forza che ha momento è il peso dell’asta.

Il momento meccanico è dovuto solo  al peso della sbarra,  m₂g, applicata al CM_sbarra

Unbound planets could abound in the universe

"Ten planets that appear to be drifting in interstellar space have been spotted by an international team of astronomers. The planets are so far from any host stars that they may not orbit a star at all, and could be drifting unbound through space. The team believes that such rogue planets could outnumber normal stars almost 2:1 and their existence could confirm computer simulations of solar-system formation."

Unbound planets could abound in the universe - physicsworld.com

Wandering planets

"The Milky Way might be filled with hundreds of billions of gas-giant planets that were ejected from the planetary systems that gave them birth and either were going their own lonely ways or were only distantly bound to stars at least 10 times as far away as the sun is from the Earth. There are two Jupiter-mass planets floating around for each of the 200 billion stars in the Milky Way galaxy, according to measurements and calculations by an international group of astronomers led by Takahiro Sumi, of Osaka University in Japan, and reported in the journal Nature."

Stunned scientists discover Milky Way awash with planets 

The Sydney Morning Herald

http://www.smh.com.au/technology/sci-tech/stunned-scientists-discover-milky-way-awash-with-planets-20110519-1ev1l.html

L'orologio

Esercizio proposto da uno studente

(ce ne sono altri al  sito http://utenti.quipo.it/base5/misure/tempo.htm)

10. Lancette che si sovrappongono
Tutti sanno che alle ore 12 le lancette dell'orologio sono sovrapposte.
Quante altre volte si sovrappongono nel giro di 12 ore? A quali ore?

10. Lancette che si sovrappongono
11 volte, ogni ora + n/11 di ora.

Immaginiamo che le lancette siano inizialmente posizionate sulle 12 entrambe. La lancetta dei minuti ha la sua velocità angolate ω_min e quella delle ore la sua ω_ore. Quando si incontrano di nuovo, saranno allo stesso tempo, nella stessa posizione sul quadrante dell’orologio. Però, dato che la lancetta dei minuti è più veloce, ha già fatto un giro completo.

Chiamiamo θ_o, l’angolo sul quadrante rispetto alle ore 12:

Per le ore dopo si ripete il ragionamento, con 4pi, 6pi, etc.

n.2 - attriti

n.1 - attrito

n.5 - dinamica

Artificial leaf

"Photosynthesis, nature's way of converting sunlight to fuel, happens all around us, from leaves on a tree to the smallest blade of grass. But finding a way to mimic the ability cheaply and efficiently has confounded engineers for decades.Now researchers have taken a step toward this elusive feat, with a device that is even more efficient than natural photosynthesis and relies on low-cost, abundant materials.
Conventional solar cells produce electricity when a photovoltaic material is exposed to light. The new device goes a step further, using the resulting electricity to split water into hydrogen and oxygen, which can be stored and used to generate electricity via a fuel cell."
More http://www.technologyreview.com/energy/37310/?p1=MstRcnt

n.12 - sistema solare

Supponendo che la traiettoria della terra attorno al sole sia una circonferenza con il sole al centro, valutare il momento angolare orbitale e il momento angolare intrinseco dalle Terra. Stimare l’errore percentuale che si fa considerando la terra un punto materiale, quando si calcola il momento angolare totale.

Dati:

La relazione che ci interessa è quella di Koenig: L_tot= L_orb+L_spin. Considerando la terra un punto materiale e  trascuriamo lo spin. Sapendo che il tempo di rivoluzione della terra attorno al sole è di 365 giorni, si può scrivere che il “periodo “ della terra nel suo moto attorno al sole è : T=3.2x10⁷ sec. Quindi:

La velocità  angolare di rotazione della terra attorno a se stessa si può calcolare in modo analogo, tenendo conto che il periodo di rotazione è di 24 ore , e cioè T=86400 sec., da cui 

Il  momento angolare “intrinseco” o “di spin” della terra descrive la rotazione rispetto all’asse polare che passa per centro della Terra, che pensiamo come una sfera. Possiamo applicare la relazione L=Iω che in questo caso diventa L_spin = I ω_spin, e il momento di inerzia è quello di una sfera , I=2/5 MR² .

Quindi:

Si può valutare infine il rapporto:

La differenza tra il considerare o no lo spin si sente alla settima cifra decimale.

Dal manometro a U a quello piezoelettrico

Ecco una piccola discussione sui manometri che si conclude con una discussione sui piezoelettrici. Manometro, dal greco “manos”, non denso, rado, rarefatto, e “metron” misura, è il misuratore della materia rarefatta. Il testo che leggete contiene della parti adattate da Wikipedia.

Il manometro è uno strumento di misura della pressione dei fluidi. La corretta accezione del lemma si riferisce a strumenti dedicati alla misura di pressioni maggiori dell'atmosferica; per valori inferiori all'atmosferica il termine corretto è vacuometro o vuotometro (misuratore del vuoto). Inizialmente la parola manometro si riferiva solo a strumenti idrostatici con liquido a colonna, oggi chiamati manometri a U, poi fu esteso per abbracciare anche strumenti a quadrante o digitali.

Vi sono numerosi tipi di manometro adatti ad impieghi differenti. La maggior parte di questi tipi in realtà misura una pressione relativa, ossia la differenza tra la pressione atmosferica nel punto di misura e la pressione dell'ambiente di cui si desidera la misura. Questi includono i manometri a U, a membrana, Bourdon.

Manometri a U

Sono costituiti da un tubo (di solito trasparente) curvato a U e riempito di un liquido di densità nota. Un'estremità del tubo è lasciata aperta all'atmosfera, mentre l'altra è in collegamento diretto con l'ambiente di misura. Il liquido contenuto nel tubo si sposterà relativamente nei dei due rami della U, creando una differenza di altezza H nelle colonne, con una differenza di peso che bilancia esattamente la forza (dovuta alla pressione o depressione) presente nell'ambiente di misura. Si veda la figura 1 per uno schema. Se si esprimono i valori in unità coerenti, si avrà: |ρ * g * H| = |P0 - Pa|, dove ρ è la densità del fluido usato per la misura e g è l'accelerazione di gravità. Per la sua estrema semplicità tale manometro non è soggetto a guasti. La sua risoluzione non è però molto elevata, a causa dell'inevitabile fenomeno del menisco.

Manometri Bourdon

Tubo di  Bourdon

Sono costituiti da un tubo solitamente di sezione ellittica e il cui asse è disposto lungo una circonferenza (ma può essere avvolto anche per più di 360°, e quindi assumere forma di spirale), detto appunto tubo Bourdon. Si era notato che un tubo di tale forma tende ad aumentare il proprio raggio di curvatura all'aumentare della pressione interna al tubo; la misurazione del raggio dà la misura della pressione. Nella pratica, il tubo è collegato ad una estremità con un punto fisso, messo in connessione con l'ambiente di misura; l'altra estremità è connessa ad un leverismo che ne amplifica lo spostamento, e lo traduce nel movimento circolare di un indice lungo una scala graduata. Vedi la figura 2. I manometri Bourdon costituiscono la stragrande maggioranza dei misuratori di pressione oggi usati.

Manometri a diaframma

Separatore a diaframma: notare l’asta dentellata che muove una ruota dentata, che può essere collegata a un indice su una scala graduata.
Anche detti a membrana poiché l'elemento deformabile è una membrana solitamente ondulata per accrescerne la flessibilità. La membrana separa l'ambiente di misura dall'esterno, e si gonfierà se la pressione Po da misurare è maggiore di quella atmosferica Pa, e viceversa. Il leverismo, non molto diverso da quello dei manometri Bourdon, amplifica questo rigonfiamento e lo trasmette ad un indice, come per i manometri Bourdon. Vi sono molte varianti del manometro a membrana, generalmente usate come manometri differenziali (vedi sotto).

Manometri piezoelettrici
Sfruttano la proprietà di alcuni materiali, solitamente quarzo, di creare un campo elettrico quando sono sollecitati, ad ese mpio, quando viene applicata una pressione.

La piezoelettricità

Vedi immagine Wiki

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c4/SchemaPiezo.gif

Un disco piezoelettrico genera una differenza di potenziale quando deformato. La piezoelettricità (la parola deriva dalla parola greca per premere, comprimere) è la proprietà di alcuni cristalli di generare una differenza di potenziale quando sono soggetti ad una deformazione meccanica. Tale effetto è reversibile e si verifica su scale dell'ordine dei nanometri.
Il funzionamento di un cristallo piezoelettrico è abbastanza semplice: quando viene applicata una pressione (o decompressione) esterna, si posizionano, sulle facce opposte, cariche di segno opposto. Il cristallo, così, si comporta come un condensatore al quale è stata applicata una differenza di potenziale. Opportunamente misurata e tarata, la differenza di potenziale piezoelettrica serve a misurare la pressione.

Applicazioni industriali, consumer e scientifiche dei piezoelettrici
La caratteristica di produrre una differenza di potenziale in seguito alla compressione ha diverse applicazioni industriali. La più comune riguarda i normali accendigas da cucina, dove un cristallo sottoposto manualmente a pressione tramite un tasto fa scoccare una scintilla senza bisogno di pile di alimentazione. L'invenzione dell'accendigas piezoelettrico da cucina, il Flint, risale al 1968 per opera di un ingegnoso friulano, Lisio Plozner, fondatore della Bpt (Brevetti Plozner Torino), aziendaancor oggi attiva.
I materiali piezoelettrici vengono inoltre impiegati nella costruzione dei sensori di alcuni strumenti atti alla misurazione delle vibrazioni meccaniche, detti strumenti sismici. Le vibrazioni meccaniche producono uno spostamento, velocità ed accelerazione di un ulteriore dispositivo massivo, detto massa sismica. La massa sismica è rigidamente collegata a un elemento elastico, che è fatto da un materiale piezoelettrico. Uno strumento di questo tipo largamente impiegato è l'accelerometro al quarzo piezoelettrico: si tratta in sostanza di un trasduttore che dà come grandezza in uscita una tensione elettrica proporzionale alla deformazione subita dall'elemento elastico, a sua volta proporzionale all'accelerazione dalla massa sismica.

Accelerometro piezoelettrico
Nella maggior parte degli accelerometri, il principio di funzionamento è il medesimo: si basa sulla rilevazione di fenomeni che possono accadere  quando una massa viene sottoposta ad una accelerazione. La massa viene in genere sospesa ad un elemento elastico, mentre in qualche tipo di sensor se ne rileva lo spostamento rispetto alla struttura fissa del dispositivo. In presenza di un'accelerazione, la massa si sposta dalla propria posizione di riposo. L'accelerazione viene rilevata dal sensore, tramite lo spostamento che essa provoca. Il sensore trasforma questo spostamento in un segnale elettrico acquisibile dai moderni sistemi di misura.

L'accelerometro piezoelettrico sfrutta, come principio per la rilevazione dello spostamento della massa, il segnale elettrico generato da un cristallo piezoelettrico quando è sottoposto ad una compressione. In questi accelerometri la massa viene sospesa sul cristallo piezoelettrico, che, in questo caso, costituisce sia il sensore, che l'elemento elastico. In presenza di un'accelerazione la massa comprime il cristallo, il quale genera un segnale elettrico proporzionale alla compressione. Visto che l'elemento elastico è un cristallo, le caratteristiche di questi dispositivi sono peculiari: essi hanno una sensibilità relativamente bassa, ma possono rilevare accelerazioni elevatissime senza danneggiarsi. Questi accelerometri trovano impiego in applicazioni dove si deve rilevare accelerazioni dinamiche come quelle che si generano nelle vibrazioni e negli shock meccanici.

n.4 - la macina

Joe e la trave

Joe e la scala

Ho quindi determinato la reazione normale della parete.

Adesso ritorno all'equilibrio delle forze.

Considero la scomposizione delle forze

Dato che conosco N2 ricavo f ed N1. 

n.8 - due dischi

Osservazioni: non ci sono momenti torcenti tali da far variare il momento angolare lungo l'asse dei dischi.

Per quanto riguarda l'energia: quella che consideriamo è la parte legata alla rotazione e che viene dissipata dall'attrito. Per quanto riguarda l'energia potenziale inziale del disco 2, essa viene dissipata dall'urto anelastico col disco 1.

n.5 - la sabbia

Per tutta la scussione vedi il problema "disco e pallina"

n.13 - Esercizio con piano inclinato

Determinare l'accelerazione del centro di massa di un disco che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato.

Il disco rotola senza strisciare per via dell'attrito statico. L'attrito statico non è dissipativo e quindi posso applicare la conservazione dell'energia. Quando il centro di massa del disco scende di un tratto dh, il centro di massa si muove lungo il piano inclinato di un tratto dl. Si ha che dh = dl sin(theta).

Risolvete il problema usando la dinamica. 

Discussione sulle variazioni di energia

Consideriamo il caso di una massa che cada verticalmente nel campo del peso. Durante la caduta la massa varia la sua posizione, che può essere data dalla quota h in funzione del tempo. La velocità in modulo della particella sarà pari a dh/dt, dove con dh intendiamo la variazione del modulo di h.
Se la posizione varia di dh, anche l'energia potenziale dovrà cambiare.
Quale è la sua variazione? Se la posizione passa da h a h'=h+dh, l'energia poteziale passa da U=mgh a U'=mgh'. La variazione dell'energia potenziale è dU=mgdh.
Dato che vale la conservazione dell'energia e l'unica forza in gioco è il peso, la variazione dell'energia potenziale comporta un variazione uguale ma opposta dell'energia cinetica. Se l'energia potenziale diminuisce di una data quantità, l'energia cinetica deve aumentare della stessa quantità, se non ci sono presenti delle forze dissipative. Se l'energia potenziale aumenta, l'energia cinetica perde la stessa quantità.
In valore assoluto, la variazione dell'energia potenziale deve essere pari alla variazione dell'energia cinetica E e quindi dU=dE:

 -dU+dE = 0

Come scriviamo la variazione dell'energia cinetica E. Quando la velocità passa da v a v', l'energia cinetica diventa

E'=1/2 m v'^2=1/2 m (v+dv)^2=1/2 m [v^2+2vdv+(dv)^2]=E'+mvdv

La variazione dell'energia cinetica dE è quindi: dE=mvdv

 -dU+dE =   -mgdh + mvdv = 0

Divido per dt:
-mg dh/dt + m v dv/dt = - m g v + m v a = 0

Da cui

a=g

Abbiamo ricavato la dinamica discutendo come varia l'energia.

To use sound waves to measure temperature

"A sensor that uses sound waves to measure temperature could replace thermometers that lose accuracy in harsh environments such as nuclear power stations. Scientists at UK measurement institute the National Physical Laboratory (NPL) are using the long-established principle that sound travels faster through warm air to create a cheap and robust thermometer that doesn’t need recalibrating or replacing. They hope the device would be used to measure extremely high temperatures or in locations where it would be difficult to change the thermometer, such as in nuclear reactors."

Sensor uses sound waves for temperature measurement | News | The Engineer

Graphite oxides boost supercapacitors

"Researchers in the US have discovered a new form of carbon produced by "activating" expanded graphite oxide. The material is full of tiny nanometre-sized pores and contains highly curved atom-thick walls throughout its 3D structure. The team has also found that the material performs exceptionally well as an electrode material for supercapacitors, allowing such energy-storage devices to be used in a wider range of applications."

http://nanotechweb.org/cws/article/tech/45975

Attrito

Discutere l'attrito dinamico e statico.

Quando mettiamo due superfici a contatto si possono avere dei fenomeni di attrito. Il modello più usato per descrivere l’attrito è quello di dire che le superfici sono ruvide e così si “incastrano tra di loro”. Si distingue tra le forme d’attrito dinamico (detto anche cinetico) e statico. Iniziamo a discutere l’attrito cinetico, ossia quando c’è uno scorrimento  parallelo delle superfici a contatto. La normale N (azione normale del vincolo) è quindi perpendicolare allo spostamento. La forza d’attrito è data da: F=μN. Non posso scrivere i vettori perché F e N sono perpendicolari tra di loro. F è parallela allo spostamento e quindi con i vettori si scrive:

F=−μNu,

dove u è il vettore unitario, parallelo alla superficie con il verso del moto.

Il coefficiente è detto coefficiente di attrito dinamico. Se è presente l’attrito dinamico, l’energia non si conserva. Possiamo però applicare il teorema dell’energia cinetica che dice che la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze. Facciamo un esempio,  se lanciamo una massa su una superficie scabra orizzontale con una velocità iniziale v, vediamo che dopo aver percorso un certo tratto d, la massa si ferma. La sua energia cinetica iniziale 1/2  m v² è dissipata dal lavoro dell’attrito:

Variazione energia cinetica = energia cinetica finale iniziale − energia cinetica iniziale = 0 −1/2 m v²

= Lavoro forze = Lavoro di N + Lavoro attrito = Lavoro attrito.

Il lavoro della normale è nullo, il lavoro dell’attrito deve essere negativo, per dissipare l’energia cinetica. Esso è:

lavoro attrito =  − Fd = − μNd.

Notare che più è grande N e più c’è dissipazione. In questo esempio, se non ci sono altre forze, N è uguale a mg.
Attenzione però che non è sempre vero che N=mg poiché N è la reazione della superficie all'azione normale del corpo su di essa. Guardiamo la seguente figura: sulla massa m agiscono il peso e la forza F che preme il corpo sulla superficie orizzontale. La massa M agisce sul tavolo che reagisce con N che è pari a mg più F.

Se c'è l'attrito quindi, ricordiamo che nella formula si deve inserire N, controllando che N può essere diversa da mg. 

Passiamo ora a discutere dell’attrito statico. Consiste anch’esso in una forza parallela alla superficie che esiste anche quando il corpo è fermo. Attenzione però che può anche non esserci. Facciamo il seguente esempio. Immaginiamo una scatola posta su un piano orizzontate. Se alla scatola non applichiamo alcuna forza orizzontale, NON possiamo mettere l’attrito statico. Fattrito è nulla: se esso ci fosse, sarebbe l'unica forza orizzontale. Poiché l'oggetto non si muove, la presenta di Fattrito è vieteta dalla seconda legge di Newton. Immaginiamo però di tirare con una fune il blocco. Pensiamo che la fune sia orizzontale. Stiamo applicando una forza orizzontale. Se il blocco è fermo la forza d’attrito statico, anche lei orizzontale, deve essere pari a F applicata in modulo con verso opposto. Se cominciamo a tirare sempre più forte, vediamo che ad un certo punto la massa comincia a muoversi. Il valore massimo della forza che possiamo applicare senza provocare il moto della massa è il valore massimo sviluppato dall’attrito statico. Si può definire un coefficiente di attrito statico come: F=μN. Si dice quindi che l’attrito statico è F≤μN. Il coefficiente è diverso da quello dinamico.

Passiamo ora all’energia. Se tiriamo l’oggetto e vediamo che esso resta fermo, notiamo che non c’è variazione di energia cinetica. Sempre dal teorema dell’energia cinetica, la forza applicata F non lavora, la forza d’attrito statico non lavora.

L’attrito statico è importantissimo nel rotolamento dei corpi rigidi. 

Matrice d'inerzia

Discutere la matrice d'inerzia e definire gli assi principali d'inerzia.

In generale il vettore momento angolare non è parallelo al vettore velocità angolare. Tra di loro esiste una relazione matriciale che definisce la matrice d'inerzia nel seguente modo.

Dato un corpo di forma generica e un punto O, il legame tra il vettore L e il vettore velocità angolare ω è dato da una matrice. Se si cambia O, cambia anche la matrice. La matrice è detta matrice d’inerzia. I coefficienti    Ixx, Ixy etc. sono i coeffcienti d'inerzia. Essendo simmetrica, la matrice è sicuramente diagonalizzabile e possiede autovalori reali e una base ortonormale di autovettori. Possiamo perciò introdurre la seguente definizione di asse principale d’inerzia.

Si dice “asse principale d’inerzia” relativo a una certa matrice d’inerzia, un asse passante per O che ha la direzione di un autovettore della matrice.

Per una matrice i cui autovalori sono distinti, gli assi principali sono tre e sono tra di loro ortogonali.

n.11 - asta e due masse, momento angolare

Mostrare con un semplice esempio che il vettore momento angolare non è in generale un vettore parallelo al vettore velocità angolare.

Il moto di questo corpo rigido si dice di precessione, se la velocità angolare resta costante in direzione e modulo e se l'inclinazione dell'asta con l'asse di rotazione resta costante.

La piattaforma rotante Pasco

La piattaforma rotante Pasco

Scopo dell’esperienza è calibrare lo strumento. Lo strumento è una piattaforma della Pasco. La rotazione dell’asse della piattaforma è misurata con una cinghia di trasmissione. Un’apposita carrucola viene collegata alla base della piattaforma come nello schema di Figura 1. La piattaforma Pasco nel suo complesso è rappresentata dal cilindro con momento d’inerzia I_o.  Come si ricava I_piattaforma? Si applica la seconda legge della dinanica alla massa m appesa al filo inestensibile e la legge della rotazione alla carrucola e alla piattaforma. La puleggia di raggio r. Il filo mette in rotazione la piattaforma [1].

Fig.1 Schema dell’apparato sperimentale.

Abbiamo la massa appesa al filo m, l’inerzia alla rotazione della puleggia I_p, l’inerzia alla rotazione della piattaforma I_o, r raggio puleggia, R raggio della gola solidale con la piattaforma attorno su cui è avvolto il filo. Si applica poi anche l’equazione del moto di rotazione: 

che lega il momento torcente all’accelerazione angolare, per la piattaforma rotante e la puleggia.

Disegnamo le tensioni T e il peso su cilindro P, puleggia e massa (l’attrito e le forze di reazione vincolari non sono rappresentate in figura 2). La tensione della fune è diversa perché la puleggia ha massa. T e T’ sono i moduli delle due tensioni.

Fig.1 Peso e tensioni della fune

L’equazioni della dinamica rilevanti al nostro problema  per massa m, puleggia e cilindro, sono:

Si ha:                                 

                                                                   

Dato che misuriamo l’accelerazione angolare della piattaforma:

Chiamiamo:

 dove abbiamo assunto la puleggia come un disco. Si ha:

(*)

 L’andamento di questa funzione è mostrato nella figura seguente, per una data scelta di R ed I.:

Fig.3 Accelerazione angolare in funzione di m. Vicino alle curve si legge il valore del momento dell'attrito di corrispondente (in N.m).

 Data la soluzione teorica del problema, dall’Eq.(*) è possibile ottenere il momento d’inerzia I ed il momento dell’attrito, misurando l’accelerazione angolare  che si ha appendendo al filo tre o quattro masse diverse ed analizzando con un fit ottimale della curva teorica.

 Fig.4 Assumiamo una retta passante per 4 punti sperimentali.

Assumendo: 

e l’effetto del termine mR² trascurabile, gli andamenti in Fig.3 vengono approssimati con delle rette, come ad esempio in figura 4:

Noti g ed R, si possono stimare I^* come la pendenza della retta e il termine tau_f come l’intercetta con l’asse x. Infatti

  

Una volta noto il momento d’inerzia della piattaforma I^* e l’effetto dell’attrito, la piattaforma è stata calibrata. Sulla medesima piattaforma si procede alla misura del momento d’inerzia di un corpo che viene poggiato su di essa. Si possono ricavare i momenti di inerzia di oggetti posti sulla piattaforma per sottrazione.

Riferimenti

[1] vedi anche es.85, della dispensa PhysicsI-14. pdf oppure “Fisica I”, di A.Sparavigna, Edizioni Esculapio).